4-1 圓的方程式

設座標上有一圓，它的圓心是P0(x0,y0)，半徑是r，設P(x,y)為圓上任意點，如圖4-2所示。

則因 =r，依距離公式可得. 4-1圓的方程式 圓的定義  圓上每一定點P到中心O的距離都等於某一個"定長"。

這個中心點O叫做圓心，定長叫做半徑(如圖4-1)。

圓的標準式 設座標上有一圓，它的圓心是Ｐ0(ｘ0,ｙ0)，半徑是ｒ，設Ｐ(ｘ,ｙ)為圓上任意點，如圖4-2所示。

則因=ｒ，依距離公式可得          或是          因此，圓上的點Ｐ(ｘ,ｙ)都滿足上述的方程式；反之，若平面上有一點Ｐ1(ｘ1,ｙ1)滿足上面的方程式，即      則可得 故與的距離等於。

因此，以Ｐ0(ｘ0,ｙ0)為圓心，以ｒ為半徑的圓方程式為 例一　　           求以為圓心，半徑等於３的圓方程式。

解：　　          將圓心，半徑３帶入公式，可得所求的圓方程式為 　　　　　　 例二　　          設，，求以為直徑的圓方程式。

解一：            先找出圓心Q及半徑ｒ： 因為直徑，故圓心Q是的終點，所以          另一方面，          由標準式得 解二：           如圖4-4點在圓C上                                            所以，圓的方程式為。

圓的一般式    從上面的討論，我們知道圓心為，半徑為r的圓方程式為                                             將上式展開，得                                            它是形如                                               (*)                  的二元二次方程式。

反之，是不是所有這種形式的二元二次方程式的圖形都式元呢?                  將依x,y配方，可得                                              因此，可得下列三種情形：                  1.當時，(*)是代表一圓，圓心為，半徑為。

                 2.當時，(*)式表一點。

                 3.當時，(*)式沒有圖形。

例三             將下列各方程式化成之形式，再說明他的幾何意義：                  (1)                  (2)                  (3) 解：             (1)                          它的圖形是一個圓，圓心為Q(1,-2)，半徑為6。

                 (2)                         它的圖形是一個點Q(1,-2)。

                 (3)                         此式之幾何意義為」點P(x,y)到定點Q(1,-2)之距離的平方何等於-3」，但在座標平面上，任一兩點間之距離不可能是負數，所以它的圖形不存在。

例四             作一圓，使它通過A(1,1)，B(4,0)，C(5,1)三點。

解一：           設所求之圓方程式為K：。

                 因圓K通過A,B,C三點，所以它們的座標滿足(A)式：                                          用加減消去法解得ｄ＝－６，ｅ＝－４，ｆ＝８。

所求之圓方程式為。

解二　　　　     依據圓的標準式，我們要設法找出圓心Q的座標及半徑ｒ。

　　　　　　　　     因弦的中垂線必通過圓心，所以先設法求出線段AC的中垂線：ｘ＝３及線段AB的中垂線：３ｘ－ｙ＝７，再求這兩條中垂線的交點Q，Q就是圓心。

即 　　　　　　　　　　　　。

　　　　　　      故圓心為Q(3,2)，半徑ｒ＝＝。

　　　　　　      所求之圓方程式為。

三個獨立的條  讀者從例題４的解法一及解法二中可以知道：任意一個圓 件決定一個圓  的方程式： (x-h)2+(y-k)2 =r2 均含有三個常數(h,k, r或d,e,f),故必須有三個獨立條件方能決定一個圓. (給了圓心座標,等於給了其中兩個條件)   圓的參數式 例15 試證：             點P(x,y)在圓C：x2+ y2=r2上的充要條件為P點座標(x,y)可表示成x=rcos,y=rsin(0<2). 證明：             如圖4-6,設P(x,y)是圓C上任意一點,以x軸正向為始邊,繞原點逆時鐘旋轉至終邊的有向角記做由正弦函、餘弦函數的定義知： sin= cos= 故圓上每一點座標(x,y)都可以表示成(A)式. 反之,若P(x, y)=(rcos,rsin),則 x2+y2=(r cos)2+(rsin)2=r2(cos2+sin2)=r2, 即座標能表成」x=rcos,y=rsin」的點都在圓 C：x2+ y2 =r2上. 我們稱方程式  (0<2) 為圓C：x2+y2=r2的參數式,其中叫做參數,依樣畫葫蘆可得圓：(x -h)2+(y-k)2=r2之參數式為  (0<2) 或寫成  (0<2) 圓表成參數式後,圓上的點(x,y)不但可用參數來表示,而且適當的限制參數的範圍,可得到圓的部分圖形, 如下圖4-8. 上半圓 (a)(0) 右半圓 (b)() 四分之一圓 (c)()