股價指數期貨定價理論與實證文獻之回顧

但卻不受期貨所得稅率f的影響。

一般所得稅率i由於會降低有效股利率及有效利率，故i會影響期貨價格。

而資本利得稅率影響期貨價格則較為複雜，需視期貨與現貨之間相對 ... Mar 2000,中華管理評論 Vol.3,No.1,pp.27～41 股價指數期貨定價理論與實證文獻之回顧 AReviewofthePricingofStock IndexFutures 許溪南 國立成功大學企管系 王健聰 國立成功大學企管系 摘要 　　股價指數期貨的定價模式為學界及實務界所關心的課題之一。

本文的目的旨在回顧有關股價指數期貨的各種相關定價理論及其實證結果。

這些定價模式，基本上，係依據市場的不完美性作不同的假設所推導而得。

因此，本文認為不同市場的投資人在選擇定價模式應用時，應充分地瞭解市場的特性及各種模式背後的假設。

關鍵詞：股價指數期貨，定價模式，模式假設，市場不完美性。

ABSTRACT 　　Thepricingofstockindexfuturesisoneofthemostimportantissues. Thepurposeofthispaperistoreviewalternativepricingmodelsofstockindexfutures andtheirrelatedempiricalevidence.Basically,thesemodelsarebuiltonthebasisof thedegreeofmarketimperfection.Therefore,investorsindifferentmarketsshould understandthecharacteristicsofthemarkettheyparticipatedandtheassumptionsof modelsinchoosingapropermodelforapplication. Keywords: stockindexfutures,pricingmodel,model assumption,marketimperfection. 壹、前言 　　股票投資報酬具不確定性，即有相當風險存在。

而股票報酬不確定的原因乃是由於股利和股價均隨著時間在波動。

引起股價和股利波動的兩個主要風險來源，其一為非系統風險(unsystematicrisk)，即影響特定廠商的經濟事件所產生風險。

傳統上，係利用多角化(diversification)資產組合方式以降低風險。

其二為系統風險(systematic risk)，即影響市場所有廠商的經濟事件所產生風險，系統風險傳統上雖可藉由調整資產投資組合中，股票所佔比重或是以出售高系統風險的股票，轉而購買低系統風險的股票等兩種風險管理技巧加以規避，但通常需付出相當大的交易成本，易造成價格劇烈波動，且與投資者所希望的投資策略相違背，因此一直無法有效地管理系統風險。

自從美國堪薩斯交易所(Kansas CityBoardofTrade,KCBT)於1982年2月，首度引入價值線複合指數(Value LineCompositeIndex,VLCI)期貨契約，股價指數期貨已成為交易者規避股票系統風險最受歡迎的工具。

　　由於期貨套利及避險與期貨定價具相當大的關聯性。

因此，對於股價指數期貨的交易者而言，期貨契約最值得關心的研究主題之一應是其定價問題。

迄今，持有成本評價模型(costofcarrymodel)是最廣泛被使用的評價模式。

該模式在完全市場假設條件下，立基於一個套利(Arbitrage)組合而發展出的，儘管理論上指數套利之操作會迫使指數期約的實際價格走向其理論價格。

但由於持有成本評價模式本身過多違反現實環境的假設以及過度忽視市場環境因素，使其在解釋及預測實際股價指數期貨之走勢顯得不夠完美，已有多位研究者實證發現股價指數期貨的實際價格與運用該模式所估算的理論價格之間有顯著差異存在。

例如，Cornell ＆French(1983a&b)、Figlewski(1984)、Modest＆Sundaresan (1983)及Eytan＆Harpaz(1986)等均觀察到市場上的實際價格，一般而言，低於持有成本評價模式所估算的理論價格。

而Bhatt ＆Cakici(1990)實証結果卻得到相反的結果。

即實際價格高於理論價格。

而學者亦試圖解釋引起此種差異的原因，歸納所提出的因素包括Cornell＆French(1983a&b)將此種差異歸咎於稅負的因素及時間選擇權(timing option)。

Modest＆Sundaresan(1983)則解釋此種差異是因投資者對賣空所得資金不能完全使用及未考慮交易成本所引起。

Figlewski (1984)認為此種差異是因投資者對於新的股價指數期貨運作，尤其是市場每日結算(marked-to-market)制度不熟悉所引起暫時失衡。

Bhatt＆Cakici(1990)發現實際價格與理論價格之間的價格誤差率與至到期日天數(time-to-maturity)及股利率有著正的顯著性的關係。

Klemkosky ＆Lee(1991)則將借、貸利率不相等的因素納入該評價模式中。

Hemler ＆Longstaff(1991)則認為市場波動性對於期貨價格決定扮演著重要角色。

Ramaswamy ＆Sundaresan(1985)在其評價模式中，將利率隨機過程納入考量。

最近，Hsu ＆Wang(1998)將價格預期及風險趨避等因素納入考量，並利用偏微分方程以及套利不完全論點，發展出一套不完全市場下之指數期貨定價模式。

　　國內去年已通過期貨交易法，台股指數期貨於今年將正式在國內上市交易。

因此，發展出一套適合台股指數期貨定價模式，以提供國內不同交易者作為定價參考，至為重要。

本文主要目的即在有系統地回顧股價指數期貨定價方面的理論與實證文獻。

本文第二部份將介紹完全市場假設條件下定價模式。

第三部份將說明放寬完全市場假設之下的一般化定價模式。

第四部份則為不完全市場下之指數期貨定價模式。

最後，則是結論。

貳、完全市場假設條件下評價模式 　　Cornell＆French (1983a)基於以下幾個簡化的假設，發展出一套持有成本的定價模式。

(1)資本市場是完美的；即無稅、無交易成本，不限制賣空且資產具完全可分割性。

(2)可以無風險利率借入及貸出資金，且借、貸利率相同並為一固定常數。

(3) 股利的支付亦是已知且為一固定的常數，即無股利不確定風險。

　　假設一位投資者在t時，進行下列投資策略：支付S(t)購入一股股票。

此一投資策略在T（到期時）的現金流量為S(T) +D(t,T)。

其中S(T)為一股股票在T時的價值，D(t,T)為t時至到期日T期間內之累積股利。

另外一位投資者則在t時，進行下列投資策略：持有一單位股價指數期貨合約並投資S(t)元購買債券。

此投資策略在T時的現金流量為S(t)er(T-t) +S(T)-F(S,t)。

其中S(t)er(T-t)為投資債券的本利和，r為無風險利率。

而S(T)-F(S,t)為持有一單位股價指數期貨合約至到期日的利得。

　　由於假設股利支付是已知且為一常數，此兩位投資者將面臨相同風險，因此兩種投資策略在T時皆有相同的現金流量，否則便有套利機會存在，即 　　　　S(T)+D(t,T)=S(t)er(T-t) +S(T)-F(S,t) 　　整理，移項之後，可得下列結果 　　　　F(S,t)=S(t)er(T-t) -D(t,T) 　　　　　　　　　　　　　(1) 　　Cornell＆French (1982)曾檢測，如果在固定股利收益率d且為連續複利觀念的情況下，則(1)式的近以值為 　　　　F(S,t) =S(t)e(r-d)(T-t)　　　　　　　　　　　　　　　(2) 　　(2)式中，S(t)代表現貨指數在t時的實際價格，T-t為t時至到期日的期間，以年為單位。

由於(2)式中利率是非隨機性(nonstochastic)，因此持有成本定價模式可視為一遠期契約定價模式。

　　Cornell＆French運用(2)式以估算1982年3月至9月股價指數期貨理論價格，結果發現估算理論價格顯著地高於實際價格。

參、放寬完全市場假設之下的一般化模式 一、考量稅負及時間選擇權等因素之定價模式 　　Cornell＆French (1983a&b)將稅負因素、利率是隨機(stochastic)變動以及股利具季節性波動等因素納入評價模式中考量，並假定以下三項相關稅率： 資本利得或損失課以稅率g；短期與長期資本利得課徵稅率並無差別；已實現與未實現的資本利得只有至到期日才支付稅捐。

利息與股利所得課以一般所得稅率i；利息與股利所得的現金流量則視為連續型態。

期貨交易所得及損失課以期貨交易所得稅率f；期貨所得視為至到期日才課以稅捐。

　　經考量以上因素之後，Cornell＆French將指數期貨的定價模式修正為 F(S,t)={S(t)[e(1-i)r(t,T)(T-t)–g]-(1–i)D(w)e(1-i)R(t,w,T)(T-w)dw}/(1– g)　　　(3) 　　其中r(t,T)為t時至到期日T之無風險利率 　　　　D(w)為w時所發放的股利 　　　　R(t,w,T)為遠期利率 　　(3)式定價模式為一般所得稅率i及資本利得稅率g的函數。

但卻不受期貨所得稅率f的影響。

一般所得稅率i由於會降低有效股利率及有效利率，故i會影響期貨價格。

而資本利得稅率影響期貨價格則較為複雜，需視期貨與現貨之間相對價格而定。

如果期貨價格高於現貨價格，則資本利得稅率將提高期貨相對價格。

反之如果期貨價格低於現貨價格，則期貨相對價格將為資本利得稅率的遞減函數。

　　如果假定所有稅率皆為零時，(3)式定價模式則為 F(t,T)=S(t)er(t,T)(T-t)-D(w)eR(t,w,T)(T-w)dw                                                                   (4) 　　Cornell＆French運用(3)式及(4)式以估算S&P 500指數期約及NYSE複合指數期約1982年6月、7月、8月及9月第一個交易日之各種不同到期月份的理論價格並與實際價格比較。

結果發現，估算理論價格仍高於實際價格。

　　Cornell＆French除了考慮稅負因素之外，亦將時間選擇權(timing option)觀念納入定價模式中。

實務上，資本利得稅是直到交易發生時才課繳。

誠如Constantinides(1983)驗証，這似乎意味著對於股票投資人而言，擁有一個有價值的時間選擇權；他們可藉由實現資本損失及遞延資本利得以減低所需負擔的稅負。

但對於持有股價指數期約的投資者而言，就沒有時間選擇權，所有資本利得或損失必須於年底或合約到期時（視兩者何者先到期）實現。

因此，持有股票可視為兩種資產的投資組合。

第一項資產稱為截頭式的證券(truncated security)。

如果投資者在t時購入股票並於T時出售，則截頭式的證券是替投資者產生現金流量的資產。

此外，截頭式的證券在強迫被清算時，所產生的租稅處理則與期貨契約相同，即無時間選擇權。

第二項資產則為一種可遞延資本利得的時間選擇權。

如果股價從時間t至T是下跌的，則由於並無任何租稅可被遞延，因此此選擇權是無價值的。

反之如股價是上漲，則此選擇權是有價值的。

由以上說明得知，股票在t時價值可表示成下式： 　　　　S(t) =P(t)+C(t)　　　　　　　　　　　　　(5) 　　其中S(t)是股票在t時的價格，P(t)則是t時截頭式的證券的價格，而C(t)則為t時時間選擇權的價值。

進一步將時間選擇權納入考量之後，所推演出來模式： F(S,t)=[S(t)-C(t)][e(1-i)r(t,T)(T-t)–g–(1–i)d(w)e(1-i)R(t,w,T)(T-w)dw] /(1–g)　　(6) 　　其中d(t)=D(t)/P(t)，表示在t時投資於截頭式的證券每一元可獲得的股利。

　　有關時間選擇權的價值的估算，可依據(5)式及(6)式。

(6)式可簡略表示成： 　　　　F(t,T)=P(t)*Z　　　　　　　　　　　　　 (7) 　　將(5)式代入(7)式並整理移項，可得(8)式如下： 　　　　c(t)=1- F(t,T)/[S(t) *Z]　　　　　　　　(8) 　　其中c(t)=C(t)/S(t)，為時間選擇權相對價值。

有幾項因素會影響時間選擇權價值；誠如Constantinides (1983)驗証股票報酬的變異數愈大，時間選擇權價值愈高。

截頭式的證券的到期日愈長，時間選擇權價值愈高。

另外，時間選擇權價值是股利率的遞減函數。

Cornell＆French利用S&P500指數期約及NYSE複合指數期約的資料，以(8)估算時間選擇權的價值。

實証結果發現時間選擇權相對價值隨著距到期日的時間增長而增加。

例如，S&P500於六月一日距到期日尚有1、4、7及10個月等四種契約的時間選擇權相對價值之估計值分別為1.7%、2.8%、3.5%以及4.0%。

　　另外，Cornell(1985)曾運用S&P500指數期約資料，驗證時間選擇權對指數期貨價格的影響。

實證結果有兩項發現。

一為時間選擇權對指數期貨價格並無重大顯著影響。

實際價格與依完全市場模式所估算理論價格之間差異數是隨機，無法由時間選擇權的理論來預測。

此外，隨著期貨契約到期日的接近，實際價格與理論價格之間差異數的標準差約降低了50%，差異數的平均值亦趨近於零。

而理論價格變動的標準差則是逐漸收斂至實際價格變動的標準差。

顯見依完全市場模式所估算理論價格，在接近到期日時，是一良好期貨價格估算模式。

二、考量交易成本及賣空限制等因素之定價模式 　　Modest＆Sundaresan (1983)認為對於賣空股價指數(或是賣空模擬指數的股票組合)投資者而言，交易成本是不容忽視。

因此，在將交易成本及賣空限制納入期貨合約評價模式中考量之後，並利用套利限制。

Modest＆Sundaresan發展出一套指數期貨價格之無套利評價區間，其中交易成本是以一個指數單位為計算基礎： 　　　　　　(9) 　　(9)式中，CPL為買入(long)現貨指數的成本。

　　　　　　CPS為賣空(short)現貨指數的成本。

　　　　　　CFL為買入期貨合約的成本。

　　　　　　CFS為賣空期貨合約的成本。

　　　　　　St為在t時，一單位標的資產(underlyingasset)的價格。

　　　　　　F(S,t)為在到期日T時，交割一單位標的資產的期貨合約，該期貨合約在t時價格。

　　　　　　B(t,T)為在T時支付一元之無風險折現因子。

　　若在加上考量股利因素，且假設股利非隨機變動情況，則(9)式可改寫為 ≧≧　　　(10) 　　(10)式中dt代表在t時，支付已知的股利額。

　　另外Modest＆Sundaresan對賣空限制設定成三種情況，(1)賣空所得款項完全不能用作投資，(2)賣空所得款項可以使用一半，(3)賣空所得款項可以百分之百使用。

並利用S&P500之1982年6月到期契約與1982年12月到期契約的股價指數實際價格資料，將(9)及(10)式理論價格區間及實際價格繪製成趨勢圖，以驗証是否有套利的機會存在。

結果發現，當賣空所得款項無法使用的情況下，實際價格則落於理論價格區間之內，顯示並無套利機會；當賣空所得款項可以使用百分之五十的情況下，除了極少部份實際價格偶而會發生落於理論價格區間之外，大部份實際價格皆落於理論價格區間之內，顯示並無套利機會；當賣空所得款項百分之百可以使用的情況下，實際價格則落於理論價格區間之外，顯示存有套利機會。

　　Modest(1984)從兩方面延伸Modest＆Sundaresan(1983)的分析。

第一，Modest將實際間斷型股利支付(lumpiness ofactualdividendpayments)納入考量，以探討其對於指數期貨定價的影響。

在無稅且利率已知，但未來股利及交易成本不確定性假設下，Modest推導出一類似Modest＆Sundaresan(1983)之指數期貨價格之無套利評價區間如下： 　　　　　(11) 　　其中及分別為時間t 所支付最大及最小股利金額。

Modest對賣空限制同樣設定為三種情況，即賣空所得款項完全不能用作投資、可以使用一半及可以百分之百使用。

並利用S&P500之1982年9月到期契約與1982年12月到期契約的股價指數實際價格資料，以驗證是否有套利機會存在。

結果發現，只有在賣空所得款項百分之百可以使用的情況下，實際價格則落於理論價格區間之外，顯示存有套利機會。

第二，Modest亦檢測隨機利率與每日結算對於指數期約定價影響。

並使用模擬技術進行分析。

模擬結果顯示利率隨機性與每日結算此兩項因素對於均衡期貨價格只有極小影響。

三、考量借、貸利率不等、交易成本及季節性股利支付等因素之定價模式 　　Klemkosky&Lee(1991)將交易成本、季節性股利支付及借、貸利率不等等因素納入評價模式中，並運用「融資買入現貨指數，賣出指數期約」的策略決定價格上限，而「買入指數期約，貸出賣空現貨指數之所得」的策略決定價格下限，推導出無套利定價區間如下： 　　　　Fl- Clf(1+r)T-t -Css(1+r)T-t 實際期貨價格)的頻率超過期貨價格低估的頻率。

(3)機構投資人定價誤差(mispricing)的程度高於成員公司。

(4)納入稅負考量之後，偏離定價區間的頻率顯著減少；且距到期日愈長，定價誤差的程度就愈大。

效率市場假說H(2)主要在檢定賣出避險組合與買入避險組合持有至到期日時，其套利利潤與超額報酬是否顯著異於零。

Klemkosky &Lee分別依每一期貨價格高估與低估的觀察值，形成買入避險組合與賣出避險組合。

並考慮每日結算、交易成本及稅負等因素，以計算避險組合之套利利潤。

實證發現(1) 在套利信號(signal)發出後，無落差的(0-minutelagged)避險組合較落差1、3、5及10分鐘以形成避險組合的情況，更能提供成員公司與機構投資人較多的套利利潤。

(2) 在賣出避險的情況，成員公司較機構投資人更能獲取較多的套利利潤及超額報酬。

反之，在買入避險的情況，則正好相反。

(3) 買入避險所獲取套利利潤及超額報酬高於賣出避險。

(4) 納入稅負考量之後，套利利潤及超額報酬顯著減少；然而交易成本則影響甚小。

(5) 由於本文檢定期間，股價正值上漲階段，因此考慮每日結算的因素之後，會增加買入避險的利潤，但卻減少賣出避險利潤。

四、考量利率隨機過程之動態特性的定價模式 　　Ramaswamy＆ Sundaresan(1985)將利率隨機過程納入指數期貨評價中，推導出二因子(two-factor)指數期貨價格之偏微分方程。

Ramaswamy＆Sundaresan假定現貨指數(S)服從擴散式隨機過程(diffusion process)，即 　　　　dS=(a-d)Sdt+ s1Sdz1　　　　　　　　(14) 　　(14)式中參數a及s1分別代表隨機過程之漂移率(drift)及波動性(volatility)；d為指數的股利率；dz1則為標準的Wiener過程。

　　此外，Ramaswamy＆Sundaresan根據Cox,Ingersoll,andRoss(1981&1985b)所提出的CIR模式之假設，假定瞬時無風險利率r(instantaneous risklessinterestrate)服從一平均數反轉平方根隨機過程(mean revertingsquarerootprocess)，即 　　　　dr=k(m-r)dt+ s2　dz2 　　　　　　　(15) 　　(15)式中參數k、m及s2分別代表隨機過程之調整速度(speedof adjustment)、長期平均(long-runmean)及波動性；dz2為標準的Wiener過程，而dz1與dz2之間的共變異數為rdt，r是相關係數。

　　依據局部預期假設(LocalExpectationsHypothesis)，Ramaswamy ＆Sundaresan推導出指數期貨價格之偏微分方程如下： 　　　　(16) 　　(16)式之偏微分方程，一般而言，並沒有封閉式解(closed-form solution)，需運用數值分析進行求解。

不過在r=0情況，Ramaswamy&Sundaresan則推導出一封閉式解如下： 　　　　F=Sa(t)e [b(t)r]　　　　　　　　　　　　(17) 其中a(t)=；(假定) 　　b(t)= 　　依據Marsh&Rosenfeld(1983)研究發現" 利率行為假定為對數常態過程(log-normalprocess)，其統計適合度優於假定為平方根的過程"。

因此，Cakici& Chatterjee(1991)另假定利率行為服從對數常態分配型態，即 　　　　dr=k(m-r)dt+ s2rdz2　　　　　　　　(18) 　　依(15)式股價行為及(18)利率行為，Cakici& Chatterjee推導出另一種指數期貨價格之偏微分方程如下： 　　　　(19) 　　另外，Cakici&Chatterjee也運用非線性最小平方法(nonlinearleastsquaremethod)，以估計(17)式中的參數k、m 及s2。

並以價格誤差率方式，比較(17)式與持有成本模式之定價績效。

此外，Cakici&Chatterjee採用另一種方法，即假定不同合理的k、r、m、s1及s2的值，運用模擬分析以估算兩種利率隨機模式(即假定利率隨機過程服從平均數反轉平方根隨機過程與對數常態分配隨機過程)之理論的期貨價格。

　　Cakici&Chatterjee採用1982年4月21日至1987年6月19日之S&P500期貨與現貨日收盤價格資料進行實證分析，研究結果包括：(1) 逐年分析發現，在1986年及1987年，利率隨機模式定價績效優於持有成本模式。

而對於所有樣本進行分析，結果亦同。

但在1982年至1985年間，兩種模式定價績效卻無顯著差異。

(2) 模擬分析結果指出，當即期利率(spot interestrate)顯然高於或低於長期平均m以及當調整速度k 相當高時，利率隨機模式定價績效顯著優於持有成本模式。

(3)利率隨機過程與現貨指數隨機過程之間的相關性對於期貨定價並無顯著影響。

(4) 利率隨機定價模式對於利率隨機過程假定並不敏感，也因此假定利率行為是平方根過程與假定為對數常態過程所獲結果是相同的。

五、考量利率隨機形式及市場波動性之動態特性的定價模式 　　Hemler＆Longstaff (1991)依據Cox,Ingersoll,andRoss(1985a &b)的理論架構，將利率隨機形式及市場波動性納入考量之後，發展出一套封閉式一般均衡評價模式。

該均衡評價模式取自然對數並整理之後，可以下列迴歸方程式加以表示： 　　　　Lt=a+brt+lsst +et 　　　　　　　　　　　(20) 　　其中；為經股利調整後的期貨價格；St是現貨指數價格；rt為至到期日的利率；sst為資產報酬波動性的水準。

如果令(20)迴歸式中的係數，a=0；b =T(T為距到期日之平均剩餘期間)；l=0(即市場波動性並無解釋能力)，則(20)式可縮減成 　　　　log(/St)= rtT　　　　　　　　　　　　　　(21) 　　將(21)式重新整理、移項之後，其實就是(2)式，即持有成本模式。

因此，由(20)式及(21)式可得知，Hemler＆Longstaff模式隱含著期貨/現貨價格比率的對數可表示成利率與市場波動性的線性迴歸。

可是持有成本模式卻隱含著期貨/現貨價格比率的對數只與利率有關。

　　Hemler＆Longstaff模式需依以下兩個步驟才能估算出理論的期貨價格。

首先，如同Ramaswamy &Sundaresan(1985)模式的檢定一樣，需先假定(20)式所估算期貨理論價格(Ft)與實際價格()之間差異數之平均值為零，然後求算(20)式之參數a,b及l 的估計值。

其次，將實際資料代入(20)式，求得Lt的值，在由Lt便可推得期貨理論價格。

而在實際資料中，需先針對sst進行估計。

　　Hemler＆Longstaff運用(20)式，及NYSE股價指數期貨1983年至1987年資料，實證發現市場波動性的確對於股價指數期貨價格有顯著性的影響，而且利率的係數為期貨契約到期日的凹向(concave)函數。

肆、不完全市場下股價指數期貨的定價模式 　　Figlewski(1989)模擬市場不完全性與其他包括不確性變異性、交易成本、不可分割性及不連續的調整等因素對選擇權價格之影響，他發現在實際的市場如股價指數選擇權，標準的套利活動暴露在相當的風險與交易成本之下，因此，他認為在實際不完全的指數選擇權的市場，的確有空間讓價格預期與風險趨避……等因素，對該選擇權之定價發揮影響力。

由於股價指數的套利活動其實亦暴露在相當的風險之下，並非如理論所言，一旦持有成本關係失衡，指數套利者可進行無風險套利。

因此，Hsu &Wang(1998)將價格預期與風險趨避等因素納入指數期貨的評價中考量，並利用偏微分方程與套利不完全論點，發展出一套不完全市場下之股價指數期貨的定價模式。

　　Hsu&Wang假設股價(S)的隨機過程服從幾何Wiener過程，並構建一由期貨合約與現貨指數所組成的投資組合。

在現實不完全市場情況下，由於套利機能只能發揮一部分功能，因此，該投資組合並非完全避險組合。

即在不完全市場下，該投資組合是有風險存在，因此，該投資組合所獲得報酬並非無風險利率(r)而是某一預期成長率(或預期風險補償報酬率)。

　　首先設股價指數期貨價格F(S,t)為標的股價指數(S)的二次可微分函數及時間(t)的一次可微分函數，利用Ito補助定理可得股價指數期貨價格的微分式，再將股價之Wiener過程代入此微分式中，可得股價指數期貨之瞬時預期報酬率與瞬時報酬率之變異數的均衡式。

　　令up及s p分別代表在不完全市場下，套利機能不完全，與該投資組合相關之瞬時預期報酬率與瞬時報酬率之標準差。

由於投資於期貨合約不需有起始的現金流出。

因此，我們得到 　　　　wfuf +wsu+wsd=wsup　　　　　　　　　 (22) 　　　　wfs f+wss=sp　　　　　　　　　　　　   (23) 　　式中wf及ws分別表示投資於「期貨合約金額」的權重及「指數現貨金額」的權重。

　　　　u及s2分別表示指數現貨之瞬時預期報酬率及瞬時報酬率之變異數。

　　　　 uf及sf2分別表示指數期貨之瞬時預期報酬率及瞬時報酬率之變異數。

　　　　d表示期貨合約存續期間，標的股票所支付固定且連續的股利率。

　　由(22)及(23)式，可得指數期貨的均衡條件 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(24) 　　進一步簡化求解，可得一個二次偏微分方程式 　　　　s2(1-)S2Fss+[(up-d)-u]SFs+ Ft(1-)+[u-(up-d)]F=0　　　　　(25) 　　此一偏微分方程式的邊界條件必須滿足 　　　　F(S,T)= ST 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(26) 　　式中St≧0,0≦t≦T 　　經由求解此一偏微分方程式，可得一封閉式解 　　　　F(S,t)= St 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(27) 　　運用偏微分方程及套利完全的論點，我們同樣可推導出完全市場下指數期貨之二階偏微分方程式 s2S2Fss +(r-d)SFs+Ft=0                                                                            (28) 　　再加上(26)式邊界條件並經由求解偏微分方程式，可得(2)式之完全市場下持有成本模式。

　　比較(2)式及(27)式之股價指數期貨價格模式，可知：在完全市場下，套利機能使得股價的成長率為無風險利率(r)，而在不完全市場下，因套利機能不完全，使得股價預期成長率並非無風險利率而是某一預期風險補償報酬率。

因此，即使此兩種模式數學形式完全相似。

但兩模式在股價預期成長率的看法仍存有很大差別。

即不完全市場下，股價預期成長率為一重要影響因素，而在完全市場下，股價的預期成長率隱含為無風險利率。

　　又在(25)式之偏微分方程式中，若定義為瞬間市場不完全度(degreeofmarketimperfection)。

當套利機能完全時，即s p=0，該期貨與指數現貨所組成的投資組合成為完全的避險組合，即無風險存在。

此時亦等於零，即市場不完全度為零。

又當市場愈趨近於完全時，依資本資產定價模式(CAPM)得 　　　　up®r +[-r] bp=r+[-r] rpm　　　　　　　(29) 　　　　u®r+[-r] b=r+ [-r]r 　　　　　　　　　(30) 　　式中為市場組合之預期報酬率。

　　　　rpm為期貨及標的現貨指數之組合報酬率與市場組合報酬率之相關係數。

　　　　r為標的現貨指數報酬率與市場組合報酬率之相關係數。

　　當®0時，s2(1-)®s2，[(up- d)-u]®(r-d)且[u-(up-d)]®0，此時(25)式趨近於完全市場下之二次偏微分方程式(28)。

換言之，當市場是完全，套利機能可完全運作時，不完全市場下之指數期貨的定價模式，即為完全市場下持有成本模式。

因此，Hsu &Wang認為不完全市場下指數期貨定價模式，應該是一般化的模式。

　　另外，Hsu&Wang採用1982年4月21日至1997年3月20日之S&P500(近月契約)期貨與現貨日收盤價格資料，以檢定持有成本模式應用於現實不完全市場的正確性，並探討指數期貨合約是否含有價格預期的訊息。

　　實證結果發現，以實際數據配適該模式幾近完美(高達0.99以上)，同時持有成本模式隱含著股價預期成長率為無風險利率假定並不適當。

而價格預期分析結果，則傾向支持指數期貨具有價格揭露的功能，並且指出價格預期的確在指數期貨的定價方面扮演著重要角色。

　　自1997年1月9日CME推出道瓊台股指數期貨及SIMEX推出摩根台股指數期貨以來，均曾出現過期貨價格低於現貨價格的逆價現象。

若以持有成本模式的觀點來看，期貨價格與現貨價格的差距應是反映淨持有成本，而此一淨持有成本通常為正值(除非現貨股利率高於無風險利率，但此一情況各國皆非常少見)。

由此看來，持有成本模式似乎無法解釋股價指數期貨的價格出現逆價情況。

所以除非是投資人預期未來台股現貨會下跌，否則市場上通常不會出現逆價的情況。

此一逆價現象，亦再次指出Hsu &Wang所提出價格預期的觀念，應是決定股價指數期貨價格之重要的因素。

伍、結論 　　由於持有成本模式本身存在著下列幾項缺失，使其在解釋及預測實際股價指數期貨之走勢顯得不夠完美。

第一，該模式將股票市場影響視為一項外生變數。

因此，無法將現貨與期貨市場之間動態關聯性納入模式中考量。

事實上，Kawaller,Koch,Koch(1987),Ng(1987)及Stoll＆Whaley(1990)都已提出有關股價指數現貨與期貨市場之間交互作用影響之相關實証文獻。

第二，持有成本模式假定無風險利率為一固定常數。

因此，如果依據Cox,IngersollandRoss(1981),Jarrow＆Oldfield(1981)及Richard＆Sundaresan (1981)有關市場利率對於期貨、遠期契約評價比較之相關實証文獻，可知該模式事實上是一項遠期契約定價模式(forward pricingmodel)。

如果利率為隨機形式時，期貨價格將不等於遠期契約價格，結果以持有成本模式評定期貨價格將出現偏誤。

第三，該模式未考慮股價的波動性。

根據Resnick＆Hennigar(1983)，Kamara(1988)，及Hemler (1988)研究顯示，持有成本定價模式定價上的誤差與利率及股價之波動性(volatility)有所關聯。

　　此外，在現實的資本市場不可能如同持有成本評價模式所假設的完美而無摩擦。

首先是套利交易將產生交易成本，包括佣金(commissions)、買賣價差(bid askspread)以及市場衝擊成本(the marketimpactCosts)。

而在避險組合方面，當調整期間變短，交易成本亦將無限制的增加。

第二、證券賣空是有限制，且證券並非能任意分割。

例如，漲檔規則(uptick rule)規定，賣空某一股票不得在該股票下跌時進行，必須等該股票回升時，才能進行。

第三、證券價格、股利支付的變化不是連續的，價格變化經常是跳躍式。

第四、同時執行相關證券的買賣委託，並非永遠可行。

對股價指數期貨而言，此一問題更為嚴重。

在指數套利時，必須迅速同時購入或出售指數內所有股票。

NYSE約有1800種股票，S&P500指數則有500種股票，在受到證券管理法則的限制，並不可能同時執行大量股票的委託買賣。

　　而現實資本市場，套利也並非完全無風險。

雖然在完全市場假設前提之下，一旦持有成本關係無法維持，即實際之指數期貨價格偏離持有成本評價模式估算理論價格，且偏離的幅度大於交易成本時，指數套利者將可透過現貨市場與期貨市場進行套利活動，而獲取無風險利潤。

然而，在實際運作，指數套利其實是一種〝風險套利〞(riskarbitrage)。

它的可能風險包括：(1)股利支付不確性風險：持有成本評價模式假設股利支付是確定的，但實際上，有些公司股利支付不定期，且支付金額亦不確定。

因此股利不確定性，將可能使得模式估計產生誤差，導致套利產生風險。

(2) 無法同時在期貨市場與現貨市場進行一買一賣套利交易：因為同時買賣與期貨價值相等之股票組合幾乎是不可能的事，而且有不少的實証研究，諸如Laatsch ＆Schwartz(1988)、Stoll＆Whaley(1990)等發現股價指數期貨價格的變動領先股價指數現貨價格的變動。

而Chan (1992)實證研究結果更確認此結論。

在此種期貨與現貨價格的時差情況下，將使得估算套利機會與利潤產生偏差，因此指數套利將是有風險存在的。

(3) 追蹤誤差(trackingerrors)風險：由於同時買賣股價指數內之所有股票，是不可能的事，因此實務上進行指數套利時，套利者乃另構建一模擬組合以替代指數內所有股票組合，唯模擬組合並不能完全複製指數內所有股票，結果將產生追蹤誤差，導致不完全的套利，因而產生風險。

因此，吾人有充分的理由相信，資本市場不是完全，指數套利將是有風險，而且在某些情況下，套利機能甚至無法運作。

例如，1987年10月美國股市崩盤期間。

又如道瓊台股指數期貨及摩根台股指數期貨自上市(1997年1月)以來，因交易量小，無法進行套利，就曾出現長時間的逆價差現象。

綜觀以上說明，吾人確信一旦持有成本關係失衡（實際價格大於或小於理論價格），指數套利者並無法完全如理論所言" 利用現貨市場及期貨市場進行無風險套利，而迫使指數期貨的實際價格走向其理論價格" 。

也因此導致指數期約實際價格與應用持有成本評價模式所估算理論價格之間會產生較大誤差。

而此種定價上的誤差，由以上一些後續定價模式可知，亦似乎無法完全以稅負、交易成本、股利不確定、時間選擇權、市場波動性、利率隨機性等因素來完全解釋。

此暗示著指數期貨評價過程中，仍有可能遺漏某些重要因素。

吾人認為價格預期應是因素之一，當然應該還有其他重要因素未納入評價模式中。

Hsu &Wang(1998)依據不完全套利觀點所推導出來的股價指數期貨定價模式，以實際數據來配適該模式幾近完美。

但他們也指出，雖然模式配適實際數據幾近完美，但未來股價走勢及成長率的預期，則只能部份準確，尚有大部份是無法正確預期者。

這也反映出現實的資本市場並非絕對的完美及有效率，也並非絕對的無效率。

同時，我們也相信，各種衍生性商品市場的完美程度是不同的，有些成熟市場，如S&P 500indexfutures，則較完美，而新興的市場，如SIMEX的台股指數期貨市場，則相當不完美。

因此，各種市場的完美程度值得學界及實務界作為後續研究的重點。

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