立方體- 维基百科，自由的百科全书

在幾何學中，立方體，是由6個正方形面組成的正多面體，故又稱正六面體、正方體或正立方體。

... 埃里克·韦斯坦因, 立方體 （參閱柏拉圖立體） 於MathWorld（英文） ... 立方體 维基百科，自由的百科全书 跳到导航 跳到搜索   此条目的主題是幾何圖形立方體。

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正六面體(按這裡觀看旋轉模型)類別正多面体對偶多面體正八面體識別名稱正六面體參考索引U06,C18,W3數學表示法施萊夫利符號{4,3}性質面6邊12頂點8歐拉特徵數F=6,E=12,V=8（χ=2）二面角90°組成與佈局面的種類正方形面的佈局（英语：Faceconfiguration）6{4}頂點圖4.4.4對稱性對稱群3特性正凸環帶多面體圖像 4.4.4（頂點圖） (展開圖) 查论编 在幾何學中，立方體，是由6個正方形面組成的正多面體，故又稱正六面體、正方體或正立方體。

它有12條稜（邊）和8個頂（點），是五個柏拉圖立體之一。

立方體是一種特殊的正四棱柱、長方體、三方偏方面體、菱形多面體、平行六面體，就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四邊形一様。

立方體具有正八面體對稱性（英语：Octahedralsymmetry），即考克斯特BC3對稱性，施萊夫利符號{4,3}，考克斯特-迪肯符號（英语：Coxeter-Dynkindigram），其對偶多面體為正八面體。

目录 1性質 1.1顶点坐标及表面方程 1.2几何性质 2正交投影 3半正对称性与表面涂色 4相关多面体及鑲嵌 5應用 6數學問題 6.1倍立方體問題 6.2最大的橫切面 7參見 8外部連結 性質[编辑] 面的組成：正方形 面的數目：6 邊的數目：12 頂點數目：8 表面積： 6 a 2   {\displaystyle6a^{2}\} 體積： a 3   {\displaystylea^{3}\} 二面角角度： 90 ∘ {\displaystyle90^{\circ}} 外接球半徑： 3 4 a {\displaystyle{\sqrt{\frac{3}{4}}}a} ≈ 0.866 a {\displaystyle\approx0.866a} 內接球半徑： a 2 {\displaystyle{\frac{a}{2}}} 對偶多面體：正八面體 在所有表面积一定的长方体中，立方体的体积最大，同样，在所有线性大小（长宽高之和）一定的长方体中，立方体的体积也是最大的。

反过来，体积相等的长方体中，立方体拥有最小表面积和线性大小。

顶点坐标及表面方程[编辑] 在三维直角坐标系中，对于以原点为中心的、各棱平行于坐标轴的、棱长为2的立方体，其顶点坐标为 (±1,±1,±1) 的全排列。

其包含了所有满足|x|≤1且|y|≤1且|z|≤1的点(x,y,z)。

在R3中，以点(x0,y0,z0)为中心的立方体表面是点(x,y,z)的运动轨迹，其中x,y,z满足： lim n → ∞ ( x − x 0 ) n + ( y − y 0 ) n + ( z − z 0 ) n − a n = 0. {\displaystyle\lim_{n\to\infty}(x-x_{0})^{n}+(y-y_{0})^{n}+(z-z_{0})^{n}-a^{n}=0.} 几何性质[编辑] 立方体有11种不同的展开图，即是说，我们可以有11种不同的方法切开空心立方体的7条棱而将其展平为平面图形，见右图。

立方体的11种不同展开图 如果我们要将立方体涂色而使相邻的面不带有相同的颜色，则我们至少需要3种颜色（类似于四色问题）。

立方体是唯一能够独立密铺三维欧几里得空间的柏拉图正多面体，因此立方体堆砌也是四维唯一的正堆砌（三维空间中的堆砌拓扑上等价于四维多胞体）。

它又是柏拉图立体中唯一一个有偶数边面——正方形面的，因此，它是柏拉图立体中独一无二的环带多面体（它所有相对的面关于立方体中心中心对称）。

将立方体沿对角线切开，能得到6个全等的正4棱柱（但它不是半正的，底面棱长与侧棱长之比为2:√3）将其正方形面贴到原来的立方体上，能得到菱形十二面体（两两共面三角形合成一个菱形）。

正交投影[编辑] 我们可以从不同角度将立方体投影到二维平面上，这些投影都各自携带有立方体原本BC3对称性的一部分。

正交投影 正对于 正方形面 顶点 考克斯特群 B2 A2 投影对称性 [4] [6] 倾斜视角 半正对称性与表面涂色[编辑] 作为正多面体之一，立方体拥有较高的对称性，它的所有面在几何上都是相同的，不可区分的。

可是我们也可以想象将立方体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使立方体拥有不同的对称性。

在立方体完全的对称性，即正八面体对称性Oh中，立方体的所有面都是相同的。

二面体对称性D4h则将立方体描述得像一个正四棱柱，有两个颜色相同的上下底面，其余4个侧面颜色相同。

立方体最低的对称性D2h也将立方体描述的像一个棱柱，不过是长方形棱柱，即一个长方体，它的相对的面颜色相同，而相邻的面是不同的。

每一种半正对称性都有自己的施莱夫利符号、考克斯特-迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkindigram）和Wythoff符号（英语：Wythoffsymbol）。

此外，由于其对偶正八面体也可被看作是正三反棱柱，立方体也可被看作是正三反棱柱的对偶，即正三偏方面体。

名称 正六面体 正四棱柱 长方体 正三偏方面体 考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkindiagram） 施莱夫利符号 {4,3} {4}×{} {}×{}×{} Wythoff符号（英语：Wythoffsymbol） 3|42 42|2 222| 对称性（英语：Listofsphericalsymmetrygroups） Oh(*432) D4h(*422) D2h(*222) D3d(2*3) 对称群阶 24 16 8 12 图像(半正表面涂色) (111) (112) (123) (111),(112),(122),及(222) 相关多面体及鑲嵌[编辑] 將立方體的其中四個頂點相連，而這四個頂點任何兩條都沒有落在立方體同一條的邊上，可得到一個正四面體，其邊長為立方體邊長的 2 {\displaystyle{\sqrt{2}}} ，其體積為立方體體積的 1 3 {\displaystyle{\frac{1}{3}}} 。

正四面體外接正六面體 立方體的對偶多面體是正八面體。

當正八面體在立方體之內： 正八面體體積 :立方體體積 =[(1/3)×高×底面積]×2 :邊3 =(1/3)(n/2)[(n2)/2]2 :n3 =1 :6 星形八面體的對角線可組成一個立方體。

截半立方體：從一條棱斬去另一條棱的中點得出 截角立方體 超正方體：立方體在高維度的推廣。

更加一般的，立方体是一个大家族，即立方形家族（又称超方形、正测形）的3维成员，它们都具有相似的性质（如二面角都是90°、有类似的超体积公式，即Vn-cube=an等）。

長方體、偏方面體的特例。

将立方体对映映射（英语：Antipodalpoint）后的到的商形成的一个实射影多面体，即立方體半形（hemicube）（不应叫其“半立方体”，因为其易与‘demicube’混淆）。

Hemi-立方体是立方体2到1的商 正方体的对偶多面体是正八面体，如果原正方体棱长为1，则对偶正八面体棱长为√2。

正方体是一种最特殊的四边形正六面体： 名称 棱长相等？ 对角相等？ 各角为直角？ 立方体 是 是 是 菱面体 是 是 否 长方体 否 是 是 平行六面体 否 是 否 四边形正六面体 否 否 否 立方体的8个顶点可以被交错地分为两组，每一组都构成一个完整的正四面体，更严格地说，这是作为半(Demi-)立方体的正四面体。

这两个正四面体组合到一起，就构成了一个正的复合多面体——星形正八面体（StellaOctagula）。

两个正四面体重合的地方构成凸的正八面体。

这意味着，正四面体的对称群A3是正方体对称群的子群，对应着能将半立方体变换到自身的对称变换，立方体其余的对称变换能将两个半立方体变换到对方。

一个这样的正四面体占据了立方体体积的1/3,立方体剩余的部分是4个全等的、顶角是立方体立体角的正三棱锥，各占立方体体积的1/6。

从立方体各棱中点处切掉立方体的角，我们会发现原先立方体的正方形面变成了其对偶的正方形面，而切掉的顶点处出现了新的正三角形面，这样的操作叫“截半”（rectification），得到的半正多面体叫截半立方体（rectifiedcube），又叫立方八面体（cuboctahedron）。

如果我们不在棱中点处截它，则这种操作叫“截角”（truncation），正方形面变成了八边形。

如果截的合适，则我们可将正方形截成正八边形，得到的半正多面体叫截顶立方体（truncatedcube）。

如果我们同时截掉立方体的棱和顶，则这种操作叫“截棱”（centellation），如果截的恰当，得到的半正多面体是小斜方截半立方体（rhombicuboctahedron）。

正十二面体有20个顶点，它们可以以不同组合分成由8个顶点组成的5组，这8个顶点两两相连，构成内接在正十二面体内部的立方体，它的棱都是正十二面体的各面的对角线。

这五个立方体组合在一起，构成复合多面体——五复合立方体。

正十二面体内部的五复合立方体 如果我们完全切掉立方体相对的两个顶点，我们会得到一个非正的八面体，将8个这样的八面体正三角形面对正三角形面贴到正八面体上，则我们得到截半立方体。

立方体与所有其它拥有BC3对称性的多面体（如正八面体和立方八面体）构成正八面体家族： 半正正八面体家族多面体 对称性:[4,3],(*432) [4,3]+,(432) [1+,4,3],(*332) [4,3+],(3*2) {4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3} 半正多面体的对偶 V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3 此外，立方体在拓扑上与其它3阶正镶嵌{n,3}相关： 多面体 欧式镶嵌 双曲镶嵌 {2,3} {3,3} {4,3} {5,3} {6,3} {7,3} {8,3} ... {∞,3} 立方体在拓扑上还和其它阶的正方形正镶嵌{4,n}(n≥3)有关： 多面体 欧式镶嵌 双曲镶嵌 {4,2} {4,3} {4,4} {4,5} {4,6} {4,7} {4,8} ... {4,∞} 立方体是正四棱柱： 正多邊形柱體系列 對稱群（英语：Listofsphericalsymmetrygroups） 3 4 5 6 7 8 9 10 11（英语：Hendecagonalprism） 12 [2n,2][n,2][2n,2+] 圖像 球面多面體 圖像 類別 柏拉圖立體 卡塔蘭立體 種子 {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} aC aD 倒角 cT cC cO（英语：Chamferedoctahedron） cD cI caC caD 應用[编辑] 日常生活 食盐和糖的結晶體都是立方狀。

骰子最常見的形狀就是立方體。

1967年世界博覽會的「立方體房間」 中国国家游泳中心俗称“水立方” 遊戲 索馬立方 魔方 扭扭骰 斯洛陶伯－赫拉茨馬立方：以6個1×2×2及3個單位立方組成3×3×3的立方（僅有一個解法）[1] 康威立方：以3個1×1×3，13個1×2×4，及1×2×2和2×2×2的長方體各一個，組成一個5×5×5的立方（572個解）[2] 視錯覺 奈克方塊 不可能方塊（下圖） 數論 立方數 數學問題[编辑] 由正方體展開圖可得知正方體表面積算法 正六邊形的切法：沿上底兩條鄰邊的中點，切至下底兩條鄰邊的中點 倍立方體問題[编辑] 參見尺規作圖，已經證明此題無法用無刻度的直尺與圓規去畫出 2 3 {\displaystyle{\sqrt[{3}]{2}}} 的位置 最大的橫切面[编辑] 立方體的橫切面只有四種： 三角形 矩形 五邊形 六邊形 其中以正六邊形的面積最大,若立方体的棱长为a,则正六边形的面积为 3 3 a 2 4 {\displaystyle{\frac{3{\sqrt{3}}a^{2}}{4}}} 。

參見[编辑] 四角柱 超方形 正八面体 外部連結[编辑] 埃里克·韦斯坦因,立方體（參閱柏拉圖立體）於MathWorld（英文） 摺紙立方體 Mathworld MathematischeBasteleien 查论编多面體1-10一面體 ·二面體 ·三面體 ·四面體（正四面體 ·鍥形體） ·五面體 ·六面體（立方體、長方體、四角柱、五角錐、平行六面体、雙三角錐） ·七面體 ·八面體 ·九面體 ·十面體11-20十一面體 ·十二面體 ·十三面體 ·十四面體 ·十五面體 ·十六面體 ·十七面體 ·十八面體 ·十九面體 ·二十面體其他空多胞形（零面體） ·多面形 ·二十四面體 ·二十七面體 ·六十面體 ·無限面體正多面體正四面體 ·正六面體 ·正八面體 ·正十二面體 ·正二十面體 ·正無限面體 查论编几何学术语點 頂點 交點 中點 角 極值點 最值點 臨界點 驻点 鞍點 直线和曲线 线段 射线 直线 切线 （主）法线 副法線 曲线 圆锥曲线 双曲线 抛物线 正弦曲線 螺线（阿基米德螺线、等角螺线……） 摆线（最速降線問題） 悬链线 曳物线 漸開線 漸屈線 渐近线 测地线 邊 周界 弦 弧 垂直平分線 二次曲线 代数曲线 椭圆曲线 超橢圓 星形线 三尖瓣线 方圓形 勒洛三角形 平面圖形 圆（广义圆） 椭圆 扇形 弓形 环形 多边形 三角形 四邊形 五边形 六边形 多边形 正多邊形 梯形 平行四邊形 菱形 矩形 正方形 鷂形 卵形线 梭形 星形 五角星 六角星 立體圖形 多面體 正多面體 四面體 長方體 立方體 平行六面体 棱柱 反棱柱 棱锥 棱台 圆柱体 圆锥 圆台 椭球（長球體、扁球體） 球體 球缺 球冠 球台 準線 母線 曲面 二次曲面 旋轉曲面 抛物面 雙曲面 马鞍面 球面 橢球面 類球面 环面 莫比乌斯带 流形 黎曼曲面 高維空間 超平面 超面 超曲面 胞 多胞形 超球體 超方形 超立方體 克莱因瓶 四維柱體柱 圖形關係 相似 全等 对称 平行 垂直 相交 相切 相離 镜像 旋转 反演 截面 縮放 三角形關係 相似三角形 全等三角形 量 距离 长度 周长 弧长 高度 面積 表面積 體積 容積 角度 曲率 撓率 離心率 凹凸性 有向曲面 可展曲面 直紋曲面 作圖 尺 直尺 三角尺 圓規 尺规作图 二刻尺作圖 分支 平面幾何 立體幾何 三角學 解析幾何 微分幾何 拓撲學 圖論 摺紙數學 欧几里得几何 非欧几里得几何（双曲几何、球面幾何……） 分形 理論 定理 公理 定义 數學證明 分类 主题 共享资源 专题 查论编帕拉圖立體柏拉圖立體正四面體·正六面體·正八面體·正十二面體·正二十面體 查论编錐體與柱體錐體 三角錐 正三角錐 四角錐 五角錐 六角錐 七角錐 八角錐 無限角錐 雙錐體 雙三角錐 雙四角錐 雙五角錐 雙六角錐 雙七角錐 雙八角錐 ... 雙無限角錐 柱體 三角柱·四角柱·五角柱·六角柱·七角柱·八角柱·九角柱·十角柱·...·無限角柱（雙曲） 反柱體 三角反柱·四角反柱·五角反柱·六角反柱·七角反柱·八角反柱·...·無限角反柱 錐柱體 三角錐柱·四角錐柱·五角錐柱·六角錐柱·七角錐柱·八角錐柱·...·無限角錐柱 其他 圓錐 圓柱 雙圓錐 圓錐柱 查论编正多面體 正多面體（列表） 柏拉圖立體 正四面體{3,3} 立方體{4,3} 正八面體{3,4} 正十二面體{5,3} 正二十面體{3,5} 星形正多面體 小星形十二面體{5/2,5} 大十二面體{5,5/2} 大星形十二面體{5/2,3} 大二十面體{3,5/2} 正扭歪無限面體 四角六片四角孔扭歪無限面體{4,6|4} 六角四片四角孔扭歪無限面體{6,4|4} 六角六片三角孔扭歪無限面體{6,6|3} 皮特里對偶 皮特里四面體{4,3}3 皮特里立方體{6,3}4 皮特里八面體{6,4}3 皮特里十二面體{10,3}5 皮特里二十面體{10,5}3 皮特里小星形十二面體{6,5}5/2 皮特里大十二面體{6,5/2}5 皮特里大星形十二面體{10/3,3}5/2 皮特里大二十面體{10/3,5/2}3 無法良好具像化的抽象（英语：Abstract_polytope）正多面體 五階四邊形三十面體{4,5} 四階五邊形二十四面體{5,4} 五階六邊形二十面體{6,5} 六階五邊形二十四面體{5,6} 六階六邊形二十面體{6,6} 複合正多面體一種多面體 星形八面體2{3,3} 五複合正四面體5{3,3} 十複合正四面體10{3,3} 五複合立方體5{4,3} 五複合正八面體5{3,4} 二複合六角六片三角孔扭歪無限面體2{6,6|3} 對偶複合體 二複合正四面體{3,3}{3,3} 複合八面體立方體{3,4}{4,3} 複合十二面體二十面體{5,3}{3,5} 複合大二十面體大星形十二面體（英语：Compound_of_great_icosahedron_and_great_stellated_dodecahedron）{3,5/2}{5/2,3} 複合小星形十二面體大十二面體{5/2,5}{5,5/2} 二複合六角六片三角孔扭歪無限面體{6,6|3}{6,6|3} 複合四角六片四角孔扭歪無限面體六角四片四角孔扭歪無限面體{4,6|4}{6,4|4} 其他空間的正多面體複數空間 黑塞二十七面體3{3}3{3}3 雙黑塞二十七面體2{4}3{3}3 截半黑塞二十七面體3{3}3{4}2 四元數空間 （四元數空間正多面體（英语：Quaternionic_polytope）） 相關條目 稀有多面體 均勻多面體 半正多面體 查论编正多邊形鑲嵌二邊形鑲嵌 二邊形密鋪 超二邊形密鋪 二邊形鑲嵌 ... 無限階二邊形鑲嵌（雙曲） 三角形鑲嵌 三階三角形鑲嵌 四階三角形鑲嵌 五階三角形鑲嵌 六階三角形鑲嵌 七階三角形鑲嵌 八階三角形鑲嵌 ... 無限階三角形鑲嵌 正方形鑲嵌 三階正方形鑲嵌 四階正方形鑲嵌 五階正方形鑲嵌 六階正方形鑲嵌 七階正方形鑲嵌 八階正方形鑲嵌 ... 無限階正方形鑲嵌 五邊形鑲嵌 三階五邊形鑲嵌 四階五邊形鑲嵌 五階五邊形鑲嵌 六階五邊形鑲嵌 七階五邊形鑲嵌 八階五邊形鑲嵌 ... 無限階五邊形鑲嵌 六邊形鑲嵌 三階六邊形鑲嵌 四階六邊形鑲嵌 五階六邊形鑲嵌 六階六邊形鑲嵌 七階六邊形鑲嵌 八階六邊形鑲嵌 ... 無限階六邊形鑲嵌 七邊形鑲嵌 三階七邊形鑲嵌 四階七邊形鑲嵌 五階七邊形鑲嵌 六階七邊形鑲嵌 七階七邊形鑲嵌 八階七邊形鑲嵌 ... 無限階七邊形鑲嵌 八邊形鑲嵌 三階八邊形鑲嵌 四階八邊形鑲嵌 五階八邊形鑲嵌 六階八邊形鑲嵌 七階八邊形鑲嵌 八階八邊形鑲嵌 ... 無限階八邊形鑲嵌 無限邊形鑲嵌 二階無限邊形鑲嵌（雙曲） 三階無限邊形鑲嵌 四階無限邊形鑲嵌 五階無限邊形鑲嵌 六階無限邊形鑲嵌 七階無限邊形鑲嵌 八階無限邊形鑲嵌 ... 無限階無限邊形鑲嵌 星型面的鑲嵌 五階五角星鑲嵌 六階六角星鑲嵌 七階七角星鑲嵌 星型頂點圖的鑲嵌 二分之五階五邊形鑲嵌 二分之七階七邊形鑲嵌 複合鑲嵌（重疊） 二複合正六邊形鑲嵌 複合三角形鑲嵌六邊形鑲嵌 其他 二階多邊形鑲嵌 二階超無限邊形鑲嵌 三角形-正方形鑲嵌 取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=立方體&oldid=67286489” 分类：几何术语柏拉圖立體多面體柱體空間填充多面體正多面體 导航菜单 个人工具 没有登录讨论贡献创建账号登录 命名空间 条目讨论 不转换 已展开 已折叠 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 阅读编辑查看历史 更多 已展开 已折叠 搜索 导航 首页分类索引特色内容新闻动态最近更改随机条目资助维基百科 帮助 帮助维基社群方针与指引互助客栈知识问答字词转换IRC即时聊天联络我们关于维基百科 工具 链入页面相关更改上传文件特殊页面固定链接页面信息引用本页维基数据项目 打印/导出 下载为PDF打印页面 在其他项目中 维基共享资源 其他语言 AfrikaansAragonésالعربيةAsturianuAzərbaycancaБашҡортсаБеларускаяБългарскиBosanskiCatalàکوردیČeštinaЧӑвашлаCymraegDanskDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFrançaisNordfriiskGaeilge贛語Galegoગુજરાતીעבריתहिन्दीHrvatskiMagyarՀայերենԱրեւմտահայերէնBahasaIndonesiaIdoItaliano日本語PatoisJawaქართულიҚазақшаಕನ್ನಡ한국어КыргызчаLatinaLëtzebuergeschLietuviųLatviešuMalagasyОлыкмарийМакедонскиമലയാളംमराठीPlattdüütschNederlandsNorsknynorskNorskbokmålOccitanਪੰਜਾਬੀPolskiPiemontèisپښتوPortuguêsRunaSimiRomânăРусскийСахатылаSicilianuScotsDavvisámegiellaSrpskohrvatski/српскохрватскиSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaSoomaaligaСрпски/srpskiSundaSvenskaKiswahiliதமிழ்తెలుగుไทยTürkçeУкраїнськаاردوOʻzbekcha/ўзбекчаTiếngViệtWinaray吴语Bân-lâm-gú粵語 编辑链接