完全數- 維基百科，自由的百科全書

完全數（Perfect number），又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然數：它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和，恰好等於它本身，完全數不可能是楔形數、平方數、 ... 完全數 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 以古氏積木演示完全數6 完全數（Perfectnumber），又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然數：它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和，恰好等於它本身，完全數不可能是楔形數、平方數、佩爾數或費波那契數。

例如：第一個完全數是6，它有約數1、2、3、6，除去它本身6外，其餘3個數相加， 1 + 2 + 3 = 6 {\displaystyle{{{1}+{2}}+{3}}=6} ，恰好等於本身。

第二個完全數是28，它有約數1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其餘5個數相加， 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 {\displaystyle{{{{{1}+{2}}+{4}}+{7}}+{14}}=28} ，也恰好等於本身。

後面的數是496、8128。

十進位的5位數到7位數、9位數、11位數、13到18位數等位數都沒有完全數，它們不是虧數就是盈數。

目次 1完全數的發現 2歷史 3性質 4奇完全數 4.1奇完全數的部分條件 4.2Touchard定理 5參考 6註釋 7參考資料 8參見 9外部連結 完全數的發現[編輯] 古希臘數學家歐幾里得是通過 2 n − 1 × ( 2 n − 1 ) {\displaystyle2^{n-1}\times(2^{n}-1)} 的表達式發現前四個完全數的。

當 n = 2 : {\displaystylen=2:} 2 1 × ( 2 2 − 1 ) = 6 {\displaystyle{{{2}^{1}}\times{\left({{{2}^{2}}-{1}}\right)}}=6} 當 n = 3 : {\displaystylen=3:} 2 2 × ( 2 3 − 1 ) = 28 {\displaystyle{{{2}^{2}}\times{\left({{{2}^{3}}-{1}}\right)}}=28} 當 n = 5 : {\displaystylen=5:} 2 4 × ( 2 5 − 1 ) = 496 {\displaystyle{{{2}^{4}}\times{\left({{{2}^{5}}-{1}}\right)}}=496} 當 n = 7 : {\displaystylen=7:} 2 6 × ( 2 7 − 1 ) = 8128 {\displaystyle{{{2}^{6}}\times{\left({{{2}^{7}}-{1}}\right)}}=8128} 一個偶數是完美數，當且僅當它具有如下形式： 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) {\displaystyle2^{n-1}(2^{n}-1)} ，其中 2 n − 1 {\displaystyle2^{n}-1} 是素數，此事實的充分性由歐幾里得證明，而必要性則由歐拉所證明。

比如，上面的 6 {\displaystyle6} 和 28 {\displaystyle28} 對應着 n = 2 {\displaystylen=2} 和 3 {\displaystyle3} 的情況。

我們只要找到了一個形如 2 n − 1 {\displaystyle2^{n}-1} 的素數（即梅森素數），也就知道了一個偶完美數。

儘管沒有發現奇完全數，但是當代數學家奧斯丁·歐爾證明，若有奇完全數，則其形式必然是 12 p + 1 {\displaystyle12p+1} 或 36 p + 9 {\displaystyle36p+9} 的形式，其中 p {\displaystylep} 是素數。

首十個完全數是（ A000396）： 6（1位） 28（2位） 496（3位） 8128（4位） 33550336（8位） 8589869056（10位） 137438691328（12位） 2305843008139952128（19位） 2658455991569831744654692615953842176（37位） 191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54位） 歷史[編輯] 古代數學家根據當時已知的四個完全數做了很多假設，大部分都是錯誤的。

其中的一個假設是：因為2、3、5、7恰好是頭4個素數，第5個完全數應該是第5個素數，即當 n = 11 {\displaystylen=11} 的時候，可是 2 11 − 1 = 23 × 89 {\displaystyle2^{11}-1=23\times89} 並不是素數。

因此 n = 11 {\displaystylen=11} 不是完全數。

另外兩個錯誤假設是： 頭四個完全數分別是1、2、3、4位數，第五個應該是5位數。

完全數應該是交替以6或8結尾。

事實上，第五個完全數 33550336 = 2 12 ( 2 13 − 1 ) {\displaystyle33550336=2^{12}(2^{13}-1)} 是 8 {\displaystyle8} 位數。

對於第二個假設，第五個完全數確實是以 6 {\displaystyle6} 結尾，但是1588年，意大利數學家彼得羅·卡塔爾迪計出第六個完全數 8589869056 {\displaystyle8589869056} ，仍是以 6 {\displaystyle6} 結尾，只能說歐幾里得的公式給出的完全數以 6 {\displaystyle6} 和 8 {\displaystyle8} 結尾。

卡塔爾迪證明了此結論。

此外，還計出第七個完全數137,438,691,328。

[1][2][3] 對完全數的研究，至少已經有兩千多年的歷史。

《幾何原本》中就提出了尋求某種類型完全數的問題。

每一個梅森素數給出一個偶完全數；反之，每個偶完全數給出一個梅森素數，這結果稱為歐幾里得－歐拉定理。

到2018年12月為止，共發現了51個完全數，且都是偶數。

最大的已知完全數為 2 82589932 × ( 2 82589933 − 1 ) {\displaystyle2^{82589932}\times(2^{82589933}-1)} 共有 49724095 {\displaystyle49724095} 位數。

性質[編輯] 以下是目前已發現的完全數共有的性質。

偶完全數都是以6或28結尾[4][5]，但未知奇完全數的結尾有何限制。

[來源請求] 在十二進制中，除了6跟28以外的偶完全數都以54結尾，甚至，除了6,28,496以外的偶完全數都以054或854結尾。

[原創研究？][查證請求][來源請求][原創研究？]而如果存在奇完全數，它在十二進制中必定以1,09,39,69或99結尾。

[6] 在六進制中，除了6以外的偶完全數都以44結尾，甚至，除了6,28以外的偶完全數都以144或344結尾。

[原創研究？][查證請求][來源請求][原創研究？]而如果存在奇完全數，它在六進制中必定以01,13,21或41結尾。

[6] 除了6以外的偶完全數，把它的各位數字相加，直到變成個位數，那麼這個個位數一定是1[7][8][註1]： 28 {\displaystyle28} → 2 + 8 = 10 {\displaystyle2+8=10} → 1 + 0 = 1 {\displaystyle1+0=1} 496 {\displaystyle496} → 4 + 9 + 6 = 19 {\displaystyle4+9+6=19} → 1 + 9 = 10 {\displaystyle1+9=10} → 1 + 0 = 1 {\displaystyle1+0=1} 所有的偶完全數都可以表達為2的一些連續正整數次冪之和，從 2 p − 1 {\displaystyle2^{p-1}} 到 2 2 p − 2 {\displaystyle2^{2p-2}} ： 6 = 2 1 + 2 2 {\displaystyle6=2^{1}+2^{2}} 28 = 2 2 + 2 3 + 2 4 {\displaystyle28=2^{2}+2^{3}+2^{4}} 496 = 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 {\displaystyle496=2^{4}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{8}} 8128 = 2 6 + 2 7 + . . . + 2 12 {\displaystyle8128=2^{6}+2^{7}+...+2^{12}} 每個偶完全數都可以寫成連續自然數之和[註2]： 6 = 1 + 2 + 3 {\displaystyle6=1+2+3} 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 {\displaystyle28=1+2+3+4+5+6+7} 496 = 1 + 2 + 3 + . . . + 30 + 31 {\displaystyle496=1+2+3+...+30+31} 8128 = 1 + 2 + 3 + . . . + 126 + 127 {\displaystyle8128=1+2+3+...+126+127} 除6以外的偶完全數，還可以表示成連續奇立方數之和（被加的項共有 2 p − 1 {\displaystyle{\sqrt{2^{p-1}}}} )[註3]： 28 = 1 3 + 3 3 {\displaystyle28=1^{3}+3^{3}} 496 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 {\displaystyle496=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}} 8128 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + . . . + 15 3 {\displaystyle8128=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+15^{3}} 33550336 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + . . . + 127 3 {\displaystyle33550336=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+127^{3}} 每個完全數的所有約數（包括本身）的倒數之和，都等於2：（這可以用通分證得。

因此每個完全數都是歐爾調和數。

） 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 6 = 6 + 3 + 2 + 1 6 = 2 {\displaystyle{\frac{1}{1}}+{\frac{1}{2}}+{\frac{1}{3}}+{\frac{1}{6}}={\frac{6+3+2+1}{6}}=2} 1 1 + 1 2 + 1 4 + 1 7 + 1 14 + 1 28 = 28 + 14 + 7 + 4 + 2 + 1 28 = 2 {\displaystyle{\frac{1}{1}}+{\frac{1}{2}}+{\frac{1}{4}}+{\frac{1}{7}}+{\frac{1}{14}}+{\frac{1}{28}}={\frac{28+14+7+4+2+1}{28}}=2} 它們的二進制表達式也很有趣：（因為偶完全數形式均如 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) {\displaystyle2^{n-1}(2^{n}-1)} ） ( 6 ) 10 = ( 110 ) 2 {\displaystyle(6)_{10}=(110)_{2}} ( 28 ) 10 = ( 11100 ) 2 {\displaystyle(28)_{10}=(11100)_{2}} ( 496 ) 10 = ( 111110000 ) 2 {\displaystyle(496)_{10}=(111110000)_{2}} ( 8128 ) 10 = ( 1111111000000 ) 2 {\displaystyle(8128)_{10}=(1111111000000)_{2}} ( 33550336 ) 10 = ( 1111111111111000000000000 ) 2 {\displaystyle(33550336)_{10}=(1111111111111000000000000)_{2}} ( 8589869056 ) 10 = ( 111111111111111110000000000000000 ) 2 {\displaystyle(8589869056)_{10}=(111111111111111110000000000000000)_{2}} ( 137438691328 ) 10 = ( 1111111111111111111000000000000000000 ) 2 {\displaystyle(137438691328)_{10}=(1111111111111111111000000000000000000)_{2}} 奇完全數[編輯] 未解決的數學問題：奇完全數存在嗎？ 用計算機已經證實：在101500以下，沒有奇完全數；至今還證明了，如果奇完全數存在，則它至少包含11個不同素數（包含一個不少於7位數的質因子）但不包含3，亦不會是立方數。

一般猜測：奇完全數是不存在的。

完全數的個數是否為無限？至今都不能回答。

CarlPomerance提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。

[9] 奇完全數的部分條件[編輯] N>101500[10] N是以下形式： N = q α p 1 2 e 1 … p k 2 e k , {\displaystyleN=q^{\alpha}p_{1}^{2e_{1}}\ldotsp_{k}^{2e_{k}},} 其中： q，p1，…，pk是不同的素數（Euler）。

q≡α≡1(mod4)（Euler）。

N的最小素因子必須小於 k − 1 2 . {\displaystyle{\frac{k-1}{2}}.} [11]。

e 1 {\displaystylee_{1}} ≡ e 2 {\displaystylee_{2}} ...≡ e k {\displaystylee_{k}} ≡1（mod3）的關係不能滿足（McDaniel1970）。

要麼qα>1062，要麼對於某個j有 p j 2 e j {\displaystylep_{j}^{2e_{j}}} >1062[10]。

N < 2 ( 4 k + 1 − 2 k + 1 ) {\displaystyleN<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}} [12][13] N必須可以寫成12n+1，468n+117或324n+81（n為整數）的形式。

[6] N不能被105整除。

[14] N的最大素因子必須大於108[15]，並低於 ( 3 N ) 1 / 3 {\displaystyle(3N)^{1/3}} 。

[16]。

N的第二大素因子必須大於104，並低於 ( 2 N ) 1 / 5 {\displaystyle(2N)^{1/5}} 。

[17][18]。

N的第三大素因子必須大於100。

[19] N至少要有101個素因子，其中至少10個是不同的。

[10][20]如果3不是素因子之一，則至少要有12個不同的素因子。

[21] 如果對於所有的i，都有 e i {\displaystylee_{i}} ≤2，那麼： N的最小素因子必須大於739（Cohen1987）。

α≡1（mod12）或α≡9(mod12)（McDaniel1970）。

Touchard定理[編輯] 這個定理說明若存在奇完全數，其形式必如 12 m + 1 {\displaystyle12m+1} 或 36 q + 9 {\displaystyle36q+9} 。

最初的證明在1953年由JacquesTouchard首先證明，1951年vanderPol用非線性偏微分方程得出證明。

JudyA.Holdener在《美國數學月刊》第109卷第7期刊證了一個初等的證明。

證明會使用這四個結果：（下面的n,k,j,m,q均為正整數） 歐拉證明了奇完全數的形式必如 4 j + 1 {\displaystyle4j+1} 。

[22] σ ( n ) {\displaystyle\sigma(n)} 表示 n {\displaystylen} 的正因數之和。

完全數的定義即為 2 n = σ ( n ) {\displaystyle2n=\sigma(n)} 。

σ ( n ) {\displaystyle\sigma(n)} 為積性函數 引理（甲）：若 n = 6 k − 1 {\displaystylen=6k-1} （ k {\displaystylek} 是正整數），則 n {\displaystylen} 非完全數。

引理（乙）：若 n = 4 k − 1 {\displaystylen=4k-1} （ k {\displaystylek} 是正整數），則 n {\displaystylen} 非完全數。

引理的證明（甲）： 使用反證法，設 n {\displaystylen} 為完全數，且 n ≡ − 1 ( mod 6 ) {\displaystylen\equiv-1{\pmod{6}}} 。

n ≡ − 1 ( mod 3 ) {\displaystylen\equiv-1{\pmod{3}}} 。

因為3的二次剩餘只有0,1，故 n {\displaystylen} 非平方數，因此其正因數個數為偶數。

n {\displaystylen} 有正因數 d {\displaystyled} ，則可得： d ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyled\equiv1{\pmod{3}}} 且 n / d ≡ − 1 ( mod 3 ) {\displaystylen/d\equiv-1{\pmod{3}}} ；或 d ≡ − 1 ( mod 3 ) {\displaystyled\equiv-1{\pmod{3}}} 且 n / d ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystylen/d\equiv1{\pmod{3}}} 。

因此， ( n / d + d ) ≡ 0 ( mod 3 ) {\displaystyle(n/d+d)\equiv0{\pmod{3}}} 。

故 σ ( n ) = ∑ d < n d + n / d ≡ 0 ( mod 3 ) {\displaystyle\sigma(n)=\sum_{d