根軌跡極點在右邊為什麼不穩定？ - GetIt01

這裡所說的系統是一個因果系統， h(t) 是一個因果信號，自然收斂域是最右極點右邊的半平面，這個收斂域又要包括虛軸 jomega ，於是只能要求極點的實部 ... 標籤：數學科學自動控制 根軌跡極點在右邊為什麼不穩定？ 12-30 跟軌跡法得到的閉環極點。

為什麼在右邊不穩定 線性時不變系統的穩定性意思是有限的輸入對應有限的輸出，因為輸出是輸入和單位衝激響應的卷積，即，即要求單位衝激響應是絕對可積的，所以傅里葉變換，也就是系統的頻率響應是存在的。

把頻率響應從實頻率推廣到復頻率，即單位衝激響應的拉普拉斯變換得到系統函數，那麼頻率響應存在意味著虛軸位於的拉普拉斯變換的收斂域之內。

若單位衝激響應是一個右邊信號。

在平面上，如果一點在收斂域內，那的半個複平面都在收斂域內。

通常的系統函數是一個有理函數，收斂域內不包括任何極點。

所以右邊信號的收斂域必然在最右極點的右邊。

這裡所說的系統是一個因果系統，是一個因果信號，自然收斂域是最右極點右邊的半平面，這個收斂域又要包括虛軸，於是只能要求極點的實部都小於 因為指數為正則是單調遞增。

遞增就不斷放大到無窮。

這樣就不穩定了。

根軌平面上的點代表時域e^x的x。

橫軸實數縱軸虛數。

縱坐標代表的是震蕩sin值的頻率這和穩定與否關係不大。

於是橫軸正則遞增，負則遞減。

因為拉普拉斯變換實質上是一一映射。

極點含有正實部，說明信號中含有幅值正指數變化的分量。

若有虛部，則該分量震蕩指數發散；若無，則該分量指數上升發散。

首先這個題目有個小問題！根軌跡極點這個描述本身就不準確，根軌跡上的每一點，都是特徵方程的根！特徵方程的根是閉環傳遞函數的極點，但也是開環傳遞函數的零點。

此外在s域是傳遞函數，意味著在時域是衝擊響應，閉環極點a在s面右半平面也就是開環零點a在右半平面，意味著該系統在時域的衝擊響應中，存在著e^at的成分（做一下簡單的laplace逆變換即可），這是件很恐怖的事情。

意味你給系統一個衝擊（impulse），隨著時間，系統的響應不隨著時間衰減，你可以畫一下指數函數圖，他是隨著時間發散的，所以系統不穩定。

舉個例子，打你一拳，你的痛感不隨著時間衰減反而無限增大，這還得了？這就是不穩定。

反之，根軌跡的點在左半平面，拉回到時域，是e^-at，是衰減的。

這就是穩定的一種表現。

說說純自己學的時候的理解吧。

假設有一個有複平面右側的根。

先用傳函與衝激激勵相乘得到的相應的拉普拉斯變換。

再把拉普拉斯變換變到時域里去你就會發現有一項是發散的。

我學的還是太淺。

前面兩位大神有詳細數學推導。

膜拜。

個人認為，從物理意義上說，時域上系統的輸出都含有e指數項，可以寫成e^(-mt)的形式，m的值受到極點的影響，在右邊m小於零，則輸出發散。

至於為什麼，我也不會證明，看了些拉氏變換對後有感。

另外極點的物理意義應該是分母為零的點吧。

把上面幾位大神的數學語言畫到一個圖裡。

就能看到一個e為底的函數。

右側顯而易見的趨於無窮了。

原點引切線與弧形跟軌道相切具體問題具體分析，基本上都要涉及一點核算，除了那種零極點個數比較小的能夠直接畫出來 第一步，標出零極點方位 第二步，畫出實軸上的根軌道 這兒邊還要知道是0度根軌道，仍是180度根軌道，這兒邊的規矩不一樣 第三步，畫出其它零極點的根軌道 求漸近線，包含與實軸的交點，漸近線與實軸的夾角 至於開始角，停止角，根軌道與虛軸的交點窩就不說了 推薦閱讀： TAG:數學|自動控制|科學| 一點新知 GetIt01