Black-Scholes Option Pricing Model - 遠得要命的數學王國

， · Myron Scholes · Black-Scholes選擇權訂價模型加以改良的哈佛商學院教授Robert Merton · 1997 · 1996 ... 2017年6月19日星期一 Black-ScholesOptionPricingModel      Black-Scholes選擇權訂價模型在1973年提出，發表於《政治經濟雜誌》(JournalofPoliticalEconomics)上，其中一位提出此模型的教授:史丹佛大學教授MyronScholes，以及後來將Black-Scholes選擇權訂價模型加以改良的哈佛商學院教授RobertMerton，共同因為此模型而獲得了1997年的諾貝爾經濟學獎。

另外一位提出Black-Scholes的數學家FischerBlack則是不幸於1996年，因為癌症而與世長辭，未能獲得隔年的諾貝爾經濟學獎殊榮。

FischerBlack MyronScholes         Black-Scholes選擇權訂價模型在提出後的30年間，對金融市場產生了不小的影響力。

人們得以了解選擇權的結構、合理的價格，其中在Black-Scholes選擇權訂價模型問世以後，當時的芝加哥選擇權交易所(ChicagoBoardOptionsExchange,CBOE)更是很快意識到此模型的重要性，利用程式輸入到當時電腦剛開始應用於商業交易的系統上。

今日隨著程式日漸發達，而且Black-Scholes選擇權訂價模型的衍生型愈來愈多，市場上交易的債券、期貨、選擇權等等也有愈來愈多種類的情況下，國際金融市場的交易也愈來愈有效率，商品之間以及交易所之間的依存度也愈來愈高，不過市場面對的危機也因此愈來愈多樣化。

芝加哥選擇權交易所(CBOE)是全世界第一家選擇權交易所 長期資本管理公司(LongTermCapitalManagement,LTCM)事件     以上這件發生於1998年9月23日的事件，即為金融界中著名的危機之一。

LTCM於1994年2月於距離紐約市不遠的格林威治市(Greenwich)成立(嗯，在我還沒查到這個案之前，我都不知道原來美國也有格林威治啊)，但是短短4年後就被JPMorganChase&Co以及Merrylich共同出資接收了。

LTCM主要的掌門人有: 號稱「華爾街債務套利之父」的Meriwether 前美國聯準會副主席DavidMullis 前所羅門兄弟(SalomonBrothers，當年倒閉以前也是市場上數一數二大型的投資銀行)債券交易部主管Rosenfeld RobertMerton,MyronScholes    是的，您沒有看錯，Black-Scholes的提出者也是LTCM的掌門人之一。

為了讓大家了解，何以聚集了諾貝爾經濟學獎得主，以及美國聯準會副主席等等大咖的公司，竟然會在創辦後4年就走向死亡，以下要先讓各位了解Black-Scholes選擇權訂價模型所做的假設，因為跟破產原因其實脫離不了關聯: Black-Scholes選擇權訂價模型的假設 股價報酬動態服從常態分佈(假定股價服從ItoProcess，也就是說股價波動度是常數) 股票可以無限分割，而且交易為連續進行 無風險利率存在，而且是常數 沒有交易稅與手續費，亦沒有交易成本 股票可以無限放空     其中第一項假設，也就是假定股價報酬動態為常態分佈，為最後造成LTCM倒閉的一項關鍵因素。

他們的模型主要就是採用Black-Scholes選擇權訂價模型，套用了歷史資料以後輸入到電腦自動交易模型中，並且在風險投資策略上採用「收斂交易」(ConvergenceTrading)，也就是不把商品漲跌納入考量，而認為商品價格報酬應該是會收斂到常態分配上。

    LTCM最大的賭注之一，就是他們賣空了29年期美國國庫券，並且買入30年期的美國國庫券，並且假設兩者價格應該會收斂(也就是預期29年期的國庫券價格下跌，30年期的價格則是上升，兩者價格趨於一致)。

然而，1997年亞洲(起因自泰國)以及俄羅斯都接連發生了金融風暴，債券到期年限愈長，風險通常愈高(因為時間愈長則不確定性愈多)，許多驚慌失措的投資人紛紛買入了看似更安全的29年期國庫券，造成29年期的國庫券價格被拉抬，兩種年期的國庫券價格反而呈現發散狀態，讓LTCM的如意算盤落空。

其他一些類似的收斂交易也都因為商品價格沒有收斂而以失敗告終。

在亞洲金融風暴期間，各種商品價格並沒有如LTCM所預期的收斂，導致LTCM因為投資失利而有不少的虧損。

「小機率事件」(SmallProbabilityEvent)      LTCM的噩夢並沒有結束。

緊接著他們又預測亞洲市場的利率會趨於穩定，並且與美國政府公債利率之間之差距會逐漸縮小。

通常美國政府公債利率因為違約機率很低，在金融市場上被廣泛認為是無風險利率，而不同國家之間的殖利率大小也間接反映了國家違約的機率高低，因為公債殖利率愈高代表該國違約機率愈高，因此當時亞洲國家的公債殖利率是飆高的。

    可是LTCM的模型還有另外一個致命的隱憂，即他們的模型採用的數據是歷史資料。

採用歷史資料的缺陷在於，一些機率非常非常小的事件很常被忽略掉(在統計學上被稱作「小機率事件」)，而且LTCM模型又是採用Black-Scholes選擇權訂價模型，基於報酬率是常態分佈的假設，更不可能注意到金融市場上，極端事件發生的可能性。

結果在1998年8月，市場極端事件真的發生了。

由於國際石油價格不斷下跌，俄羅斯經濟不斷惡化，俄羅斯盧布(貨幣單位)大幅貶值，結果政府被迫宣布停止國債交易，投資人紛紛轉向風險較小的美國以及德國公債。

結果，LTCM再度看錯方向，此事件也成了壓垮他們的最後一根稻草，同年9月23日，在美國聯準會的安排下，JPMorganChase&Co以及Merrylich等15間金融機構用37.25億美元共同出資接收了LTCM，從而宣布了LTCM戲劇化的結局。

LTCM事件帶給我們的啟示     人人都會犯錯，金融市場沒有聖人。

就連提出了Black-Scholes模型的經濟學家，1997年的諾貝爾經濟學獎得主，都會犯下了看錯市場的錯誤導致公司瀕臨垮台邊緣，何況是更多的老百姓們。

因此絕對不可盡信權威，人們一定要有自己的判斷力。

   此外，幾乎任何模型都存在有它的缺陷。

LTCM採用的Black-Scholes選擇權訂價模型，就是忽略掉了市場發生極端事件的可能性，導致該公司最後邁向戲劇化的結局。

人們使用模型時，首先應該要確認什麼樣的情況下應該要適用何種模型，並且要隨時機應變。

Black-Scholes選擇權訂價公式推導     Black-Scholes選擇權訂價公式雖然有諸多爭議，仍然是金融市場中影響力最大的模型之一。

它的訂價是假設在所有商品的平均報酬率皆為無風險利率的世界中(也就是財務數學中的「風險中立測度(Risk-NeutralMeasure)」，而且也沒有任何套利機會(No-ArbitrageOpportunity)。

     Black-Scholes選擇權(買權)訂價公式     以上的S(t)代表在時間t時的股價，K代表選擇權的履約價(表示我擁有權利，能夠在契約到期時，用這個價格買進股票)，r為無風險利率，T為買權到期的時間，σ為股價報酬波動度(在此為常數)。

根據簡單的微積分，將選擇權公式對股價做偏微分後，就可以得到N(d1)，財務意涵是股價上漲1單位時選擇權價格會上漲N(d1)單位;N(d1)同時也代表投資銀行如果要沖銷掉風險，發行1單位的買權時必須同時買進這麼多單位的股票。

    以下至少有2種方式可以推導出Black-Scholes選擇權訂價公式: 期末報酬的期望值依照連續折現回期初 建構出買權的無風險投資組合以後，得到偏微分方程式(PartialDifferentialEquation,PDE)，求解此PDE即可得到訂價公式。

兩者之間的連結=Feynman-KacTheorem     選擇權訂價原則上是建立在風險中立測度下，所有商品價格之間均無套利機會的假設下，商品相對價格會服從機率平賭(Martingale)。

假設選擇權為C(t)，而貨幣於時間[0,T]的連續時間複利值為B(t)，(T>t)則兩者之間的合理價格關係:     因為選擇權賦予買方在到期時用某個價格(履約價K)買進標的資產(股價S)的權利，而歐式買權僅能在到期時履約，歐式買權的期末報酬(時間T)是max(S(T)-K,0)，此代表選擇權買方在到期時，如果發現股價小於履約價時，他有權利拒絕履約。

所以Black-Scholes選擇權訂價公式就是把上述的C(T)換成max(S(T)-K,0)即可。

   第二種方法則是要建構出一個無風險的投資組合(無風險意思是投資組合裡面沒有任何隨機變數，也就是在任何時間都可以完全確定變數的值)，先推導出以下的PDE:    接著，我們可以先把此類型的PDE轉換成熱傳導方程(HeatEquation)的型態，再利用傅立葉變換把已經轉換成熱傳導方程形式的Black-ScholesPDE解開，PDE的封閉解也是Black-Scholes選擇權訂價公式。

(嗯，推導的式子實在是太長一串了，恕在下懶得把它們全部打出來XD)    Feynman-Kac定理則是告訴我們，以上兩種方式得到的結果完全相同。

根據Feynman-KacTheorem，以上的偏微分方程，只要期末報酬函數C(T)是Borelmeasurable，則求解函數期望值折現等同於求解偏微分方程。

以上的定理提供了一個相對於轉換成熱傳導方程更容易的PDE解法。

  在Black-ScholesPDE當中，一階導數稱作"Delta"，二階導數稱作"Gamma"。

實務運用上，Black-ScholesPDE可以幫助投資人了解到，買進多少單位的股票可以達到"DeltaNeutral"的情況(也就是說股價漲跌不會影響到投資組合變動,Delta變為0)，甚至可以達到Delta-GammaHedging的效果。

可以說，數學對於金融市場也是一個非常重要的推手。

中文參考資料 [1]金融工程學(2009)，陳松男，3版 [2]選擇權理論 、實務與風險管理(2010)，陳威光，再版 [3]MBA智庫百科_LTCM References [1]Black,F.andScholes,M.(1973),ThePricingofOptionsandCorporateLiabilities,JournalofPoliticalEconomy,81,pp.637-654 [2] Cox,J.C.andRoss,S.A.(1976),TheValuationsofOptionsforAlternativeStochastic  Processes,JournalofFinancialEconomics,3,pp.145-166 [3]Hull,J.,Options,FuturesandOtherDerivatives,8thed. [4] Shreve,IntroductiontoStochasticCalculus,2nded. [5]FederalReserveEconomicData           於 6月19,2017 以電子郵件傳送這篇文章BlogThis！分享至Twitter分享至Facebook分享到Pinterest 沒有留言: 張貼留言 較新的文章 較舊的文章 首頁 訂閱： 張貼留言(Atom) InelasticMarketsHypothesis      這篇文章來自於我上個禮拜參加WesternFinanceAssociation(WFA)研討會的心得，而今天要介紹的這篇論文是我在研討會前有細讀過的其中一篇。

原訂要在夏威夷舉辦的這場，跟去年一樣是採用線上研討會的模式。

雖然少了一次可以趁著參加研討... Maxwell'sEquations     電磁學領域中有一個非常有名的偏微分方程組，描述了電場、磁場與電荷密度及電流密度之間的關聯，就是由「電磁學之父」---英國物理學家馬克士威(JamesMaxwell)於1864年發表的馬克士威方程組(Maxwell'sEquations)，經... SelectedArticleLists [數學][1]《代數基本定理》[2]《用虛根表示實數》[3]《正交分解》[4]《隨機矩陣理論概述》[5]《序列緊緻與開閉集》[6]《距離與獨立性》[7]《最小上界與上下極限》[8]《... EndogenousV.S.ExogenousVariables      在《EmpiricalAnalysisinFinanceandEconomics》這篇文章當中提及，計量經濟學常被用來作為財金或是經濟學上實證分析的工具。

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