布莱克-舒尔斯模型- 维基百科，自由的百科全书

布莱克-舒尔斯模型（英語：Black-Scholes Model），简称BS模型，是一种为衍生性金融商品中的期权定价的数学模型，由美国经济学家麥倫·舒爾斯與費雪·布萊克首先提出。

布莱克-舒尔斯模型 维基百科，自由的百科全书 跳到导航 跳到搜索 「Black-ScholesModel」的各地常用譯名中国大陸布莱克-舒尔斯模型港臺布萊克-休斯模型 布莱克-舒尔斯模型（英語：Black-ScholesModel），简称BS模型，是一种为衍生性金融商品中的期权定价的数学模型，由美国经济学家麥倫·舒爾斯與費雪·布萊克首先提出。

此模型適用於沒有派發股利的歐式期權。

罗伯特·C·墨顿其後修改了數學模型，使其於有派發股利時亦可使用，新模型被稱為布萊克-休斯-墨頓模型（英語：Black–Scholes–Mertonmodel）。

此模型的應用是透過買賣價格過高或是過低的期權，並同時與持有的資產對沖，來消除可能潛在的風險，並因此而套利。

此方法也被稱為「動態Delta中性」。

此公式问世后带来了期权市场的繁荣，並且也是在投資營行與對沖基金中被廣為使用的基礎模型。

雖然在很多情况下被使用者进行一定的改動和修正。

很多经验测试表明这个公式足够贴近市场价格，然而也有会出现差异的时候，如著名的「波動率的微笑（英语：Volatilitysmile）」。

然而它假設價格的變動，會符合正态分布（即俗稱的鐘形曲線），但在金融市場上經常出現符合统计学厚尾現象的事件，這影響此公式的有效性。

1997年，麥倫·休斯和罗伯特·默頓憑借该模型获得诺贝尔经济学奖。

費雪·布雷克不幸在1995年離世，因此未能獲獎。

目录 1重要假设 2模型 2.1布萊克-休斯方程 2.2公式 3派发股利的期權定价模型 4關聯項目 5外部連結 重要假设[编辑] BS模型假設金融市場存在最少一種風險資產（如股票）及一種無風險資產（現金或債券）。

假設金融資產是： 無風險資產的投資回報是不變的，此回報率稱作无风险利率 股票價格遵從几何布朗运动（隨機漫步） 股票在選擇權有效期内不分派紅利 股票價格服从对数正态分布，即金融資產的对数收益率服从常態分配 假設金融市場是： 不存在套利機會 能以无风险利率借出或借入任意數量的金錢 能買入及賣出（沽空）任意數量的股票 市场无摩擦，即不存在交易税收和交易成本 此外，假設期權是欧式期權，即只可在特定日期行权。

模型[编辑] 布萊克-休斯方程[编辑] 對於有效期內不派發紅利的歐式期權，其價格遵從以下偏微分方程： ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle{\frac{\partialV}{\partialt}}+{\frac{1}{2}}\sigma^{2}S^{2}{\frac{\partial^{2}V}{\partialS^{2}}}+rS{\frac{\partialV}{\partialS}}-rV=0} 把方程重寫成左右兩邊： ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 = r V − r S ∂ V ∂ S {\displaystyle{\frac{\partialV}{\partialt}}+{\frac{1}{2}}\sigma^{2}S^{2}{\frac{\partial^{2}V}{\partialS^{2}}}=rV-rS{\frac{\partialV}{\partialS}}} 左方代表期權的時間值及與即期價格的凸性（英语：Convexity(finance)）。

右方代表期權長倉的無風險回報及 ∂ V ∂ S {\displaystyle{\frac{\partialV}{\partialS}}} 股相關資產短倉。

公式[编辑] 利用以下约束条件，可解認購期權（CallOption）的理論值。

C ( 0 , t ) = 0  forall  t C ( S , t ) → S  as  S → ∞ C ( S , T ) = max { S − K , 0 } {\displaystyle{\begin{aligned}C(0,t)&=0{\text{forall}}t\\C(S,t)&\rightarrowS{\text{as}}S\rightarrow\infty\\C(S,T)&=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}} 認購期權的理論價格是： C = S × N ( d 1 ) − e − r × T × L × N ( d 2 ) {\displaystyle\displaystyleC=S\timesN(d_{1})-e^{-r\timesT}\timesL\timesN(d_{2})} 其中： d 1 = ln S L + ( r + 0.5 × σ 2 ) × T σ × T {\displaystyled_{1}={\begin{smallmatrix}\displaystyle{\frac{\ln\displaystyle{\frac{S}{L}}+\left(r+0.5\times\sigma^{2}\right)\times{T}}{\sigma\times{\sqrt{T}}}}\end{smallmatrix}}} d 2 = d 1 − σ × T {\displaystyled_{2}={\begin{smallmatrix}\displaystyled_{1}-\sigma\times{\sqrt{T}}\end{smallmatrix}}} ln：自然對數； C：選擇權初始合理价格； L：選擇權交割价格； S：交易所金融资产即期價格； T：選擇權有效期； r：连续复利计无风险利率Ｈ； σ 2 {\displaystyle\sigma^{2}} ：年度化方差； N()：常態分佈变量的累积分布函数。

派发股利的期權定价模型[编辑] 布莱克-舒尔斯模型假定在期權有效期内标的股票不派发股利。

若派发股利需改用布萊克-休斯-墨頓模型，其公式如下： C = S × e − k × t × N ( d 1 ) − e − r × T × L × N ( d 2 ) {\displaystyle\displaystyleC=S\timese^{-k\timest}\timesN(d_{1})-e^{-r\timesT}\timesL\timesN(d_{2})} 其中： d 1 = ln S L + ( r − k + 0.5 × σ 2 ) × T σ × T {\displaystyled_{1}={\begin{smallmatrix}\displaystyle{\frac{\ln\displaystyle{\frac{S}{L}}+\left(r-k+0.5\times\sigma^{2}\right)\times{T}}{\sigma\times{\sqrt{T}}}}\end{smallmatrix}}} d 2 = d 1 − σ × T {\displaystyled_{2}={\begin{smallmatrix}\displaystyled_{1}-\sigma\times{\sqrt{T}}\end{smallmatrix}}} k：表示标的股票的年股利收益率（假设股利连续支付，而不是离散分期支付） Ln：自然對數； C：期權初始合理价格； L：期權交割价格； S：交易所金融资产现价； T：期權有效期； r：连续复利计无风险利率Ｈ； σ 2 {\displaystyle\sigma^{2}} ：年度化方差； N()：常態分布变量的累积分布函数。

關聯項目[编辑] 金融工程學 金融數學 瓦西塞克模型（英语：Vasicekmodel） Cox–Ingersoll–Rossmodel 外部連結[编辑] TheBlack–ScholesModel（页面存档备份，存于互联网档案馆）,global-derivatives.com Black,Merton,andScholes:Theirworkanditsconsequences（页面存档备份，存于互联网档案馆）,byAjayShah TheBlack–ScholesOptionPricingModel（页面存档备份，存于互联网档案馆）,optiontutor 查论编概率论：随机过程离散时间（英语：Discrete-timestochasticprocess） 伯努利过程 分支过程 中餐馆过程 高尔顿-沃特森过程（英语：Galton–Watsonprocess） 独立同分布 马尔可夫链 莫兰过程（英语：Moranprocess） 隨機漫步 循环擦除随机游走（英语：Loop-erased） 自避行走 连续时间（英语：Continuous-timestochasticprocess） 贝塞尔过程 出生-死亡過程 维纳过程/布朗运动 布朗桥 Excursion（英语：Brownianexcursion） 分数布朗运动（英语：FractionalBrownianmotion） 几何布朗运动 Meander（英语：Brownianmeander） 柯西过程（英语：Cauchyprocess） Contactprocess（英语：Contactprocess(mathematics)） Coxprocess（英语：科克斯过程） Diffusionprocess（英语：Diffusionprocess） Empiricalprocess（英语：Empiricalprocess） 费勒过程（英语：Fellerprocess） 弗莱明-维奥过程（英语：Fleming–Viotprocess） 伽马过程（英语：Gammaprocess） 亨特过程（英语：Huntprocess） Interactingparticlesystem（英语：Interactingparticlesystem）s 伊藤积分 伊藤過程 跳跃扩散（英语：Jumpdiffusion） 跳跃过程 萊維過程 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