怎麼說它有多彎？

就稱為曲線在P 點的曲率，顯而易見的是：由此定義求得的直線曲率為0，而圓的曲率為其半徑的倒數。

從微分的觀點來看，曲線y=f(x) 的曲率可看成切線斜角 ...     首頁|搜尋 ．原載於科學月刊第十六卷第八期 ．作者當時任教於台大數學系   怎麼說它有多彎？ 曹亮吉     曲線與曲面的特性在其彎曲。

在數學上，我們不似要說它們是彎曲的，而且還得說它們彎曲到什麼程度。

衡量彎曲的程度，在數學上叫做曲率。

我們先談小面曲線的曲率。

先說直線，它到處都平直不彎曲，所以曲率到處都是0。

再看圓，一個圓的彎曲程度到處都一樣，所以曲率是個常數；但大的圓比小的圓平直些，所以大的圓的曲率要較小的來得小。

若大小兩圓的半徑各為R及r，則同樣繞了一圈(彎曲了一圈)，大圓要花的弧長，而小圓則為，所以與應該可以描述大小兩圓的彎曲程度，也就是說圓的半徑的倒數，就是圓的曲率。

圖一 以上是就整個圓而討論的。

就局部而言，圓的彎曲可以其切線斜角的變化來衡量。

斜角的變化與弧長的變化之商代表曲度的平均變化率，如圖一，設圓O的半徑為R，我們很容易看出來：從P點到Q點切線斜角的變化θ正好是，而弧長的變化正好是，兩者之商 所以圓的曲率恆為。

圖二 推廣到一般的曲線上，如圖二，我們可以考慮曲線從P點到Q點切線斜角的變化θ,將其除以弧長，然後讓Q點逼近P點，如此所得的極限值 就稱為曲線在P點的曲率，顯而易見的是：由此定義求得的直線曲率為0，而圓的曲率為其半徑的倒數。

從微分的觀點來看，曲線y=f(x)的曲率可看成切線斜角 對弧長 的變化率， 含f(x)的一次及二次導函數。

牛頓等人首先導出正確的公式： 以拋物線y=af(x)=ax2為例，則因f'(x)=2ax ,f''(x)=2a，所以曲率為 。

當x=0時，亦即在拋物線的頂點處，曲率的值最大(=2a)，而當P點離頂點愈遠，亦即x的絕對值愈大時，曲率愈小，這正符合我們對拋物線彎曲變化的印象。

圖三 我們可以把曲率做另一種幾何式的解釋：以A點為新坐標系統的原點，過P點的切線為新的x軸， 則曲線的新的函數y=f(x)在P點，即x=0處的導函數為0（因為切線就是x軸），所以曲率為f''(0)。

而此時y=f(x)的Taylor展式為 所以曲率 如圖三，y代表Q點到切線的距離QS,x則為PQ在切線上的投影PS， 曲率變成 這樣的幾何解釋和坐標系統無關。

如果用拋物線原來的公式y=f(x)=ax2，P(x0,y0)，Q=(x0,y0)，則因切線方程式為 y-y0=2ax0(x-x0)，由此可算得QS,PS，經整理後得 當 ，即 時，我們就得到拋物線原來的曲率公式。

有時候曲線的方程式以參數來表示比較方便： ,，這時候的曲率公式則為 以橢圓,為例，則 假定a>b>0，則，π時，曲率 為最大，而當 ， 時，曲率 為最小， 這和橢圓彎曲給我們的印象相符。

（如果a=b>0，則曲率永遠是，這正是半徑為a的圓。

） 再看雙曲線：，，此時 這裡的曲率之所以為負的原因是這樣的：弧長的方向以參數θ增加的方向為準，而順著這樣的方向， 曲線一直在切線的右邊，所以切線的斜角（是θ的函數，但不是θ本身）一直在減少，其相對於弧長的變化率是為負值，因此曲率為負。

如果， ，則這組參數方程式仍然表示雙曲線，只是當參數增加時，曲線是左彎的(曲線在切線的左側，而根據曲率公式算得的曲率則為正數。

我們的結論是這樣的；曲率的絕對值表示曲線彎曲的程度， 曲率的正負則表示彎曲的方向（以參數為準）。

回到 原來雙曲線的曲率公式，我們發現在頂點時，即,π ，曲率的絕對值最大 。

而當曲線離開頂點越遠，即愈大，即曲率的絕對值愈小，而終於趨近於0，這與雙曲線圖形給我們的印象相符。

以上所談的都是平面中的曲線。

空間中的曲線除了彎曲外，還得看它扭離平面的程度，討論起來非常麻煩，我們就擱下不談。

在曲線上可以談曲率的先決條件是要有切線，而且切線的變化率也要存在； 換句話說，曲線的函數要有二次以上的須函數。

同樣的，要在曲面上討論曲率， 我們要求它們的函數要有二次以上的偏導函數。

過這樣的曲面上的任一點都有切平面；垂直於切平面而過切點的直線稱為法線。

我們考慮一個含此法線的平面，它與曲面截成一曲線。

我們可以以法線為軸，將此平面旋轉φ角 就得到所有的含此法線的平面， 這些平面與曲面相截所得一連串曲線所呈現的各個曲率全體，可做為曲面在該點的曲率。

也許直覺上我們會認為的變化可以非常大，它如何能有效地描述一曲面的彎曲程度呢？其實只要稍加說明，我們會發現， ， 之間有沌地的關係。

首先，我們知道在常態下（假設曲面有連續的二次偏導函數）， 為φ的連續函數。

但， 所以所有的值組成實數上的一個閉區間 [K20xA141K1]。

也就是說有最大值K1，最小值K2，而其他的值都落在兩者之間， 而且兩者之間的任何值都是某個值。

不但這樣， Euler還發現有如下的性質：若以K1的方向為 ，即 ，則 ， 亦即曲率最大及最小的兩個方向互相垂直。

更有進者， 在這種方向取法下， 。

要證明這個Euler的定理並不難。

只要回到我們談過的曲線曲率的另一種幾何解釋就好： 我們取所考慮的點為原點，該點的切平面為x-y面，則代表曲面的函數，其Taylor展式的常數項及一次項都要消失， 所以 更進一步，我們可以在切平面上選擇適當的x軸及y軸，使得B=0（轉軸方法），因此 設 ,為含法線的平面，則相截的曲線為 所以 若，則A=K，為的最大值，而C=K2，為最小值。

（若A