點算的奧秘：排列和組合基本公式

C(n, r) = n! / ((n − r)! × r!) 正如前面的「排列」公式適用於「全排列」的情況，上述「組合」公式也適用於「 ... 點算的奧秘：排列和組合基本公式 在本節中，筆者將介紹「排列」(Permutation)和「組合」(Combination)的基本概念和兩個基本公式。

請注意「點算組合學」中的很多概念都可以從不同角度解釋為日常生活中的不同事例，因此筆者亦會引導讀者從不同角度理解「排列」和「組合」的意義。

先從「排列」開始。

「排列」的最直觀意義，就是給定n個「可區別」(Distinguishable，亦作「相異」)的物件，現把這n個物件的全部或部分排次序，「排列」問題就是求不同排列方式的總數。

為了區別這些物件，我們可不妨給每個物件一個編號：1、2...n，因此「排列」問題實際等同於求把數字1、2...n的全部或部分排次序的方式總數。

「排列」問題可分為「全排列」和「部分排列」兩種，當我們把給定的n個數字1、2...n全部排次序，求有多少種排法時，就是「全排列」問題。

我們可以把排序過程分解為n個程序：第一個程序決定排於第一位的數字，第二個程序決定排於第二位的數字...第n個程序決定排於第n位的數字。

在進行第一個程序時，有n個數字可供選擇，因此有n種選法。

在進行第二個程序時，由於在前一程序已選定了一個數字，現在可供選擇的數字只剩下n−1個，因此有n−1種選法。

在進行第三個程序時，由於在前一程序已選定了一個數字，現在可供選擇的數字只剩下n−2個，因此有n−2種選法。

如是者直至第n個程序，這時可供選擇的數字只剩下1個，因此只有1種選擇。

由於以上各程序是「各自獨立」的，我們可以運用「乘法原理」求得答案為n×(n−1)×(n−2)×...2×1。

在數學上把上式簡記為n!，讀作「n階乘」(n-factorial)。

例題1：把1至3這3個數字進行「全排列」，共有多少種排法？試列出所有排法。

答1：共有3!=3×2×1=6種排法，這6種排法為1-2-3；1-3-2；2-1-3；2-3-1；3-1-2；3-2-1。

□ 當然，給定n個數字，我們不一定非要把全部n個數字排序不可，我們也可只抽取部分數字(例如r個，r