轉移函數和波德圖@ 小小科學實驗室 - 隨意窩

轉移函數和波德圖(Transfer Function & bode plot) http://en.wikipedia.org/wiki/Bode_plot http://zh.wikipedia.org/zh-tw/波德圖(說的很清楚) ... 小小科學實驗室這是一個小小科學實驗室，裡面有很多很多好玩且有趣的實驗，研究內容包羅萬象，放在此處，希望有志者能一起來研究討論!歡迎台X大孫教授蒞臨指導!!!歡迎X橋科技公司,劉X洪副總經理蒞臨指導!!!歡迎XX公司IT部經理,張X鴻經理蒞臨指導!!!(勿忘留言簽到)日誌相簿影音好友名片 201112301446轉移函數和波德圖?原型開發工具 轉移函數和波德圖(TransferFunction&bodeplot) http://en.wikipedia.org/wiki/Bode_plot http://zh.wikipedia.org/zh-tw/波德圖(說的很清楚) http://en.wikipedia.org/wiki/Low-pass_filter http://en.wikipedia.org/wiki/High-pass_filter http://en.wikipedia.org/wiki/Band-pass_filter http://en.wikipedia.org/wiki/Band-stop_filter PoleZeroJavaApplet http://web.mit.edu/6.302/www/pz/   (MITwebsite!!!good!!!推荐)       波德圖手繪的規則 波德圖的前提就是可以可以處理以下型式函數的對數值： 上述函數的對數值可以轉換為極點及零點對數的和： 在繪製波德相位圖時直接使用了上述的概念。

增益圖的繪製時則是以此概念為基礎，因為每個極點或零點其增益的對數均從0開始，而且其漸近線只有一個轉折點，因此繪製時可以再作簡化。

 直線近似的增益圖 波德圖增益分貝值一般都利用20log 10(X)的公式。

考慮以下的轉換函數： 其中xn及yn是常數，s=jω,an,bn>0，而H是轉換函數。

在每個對應ω=xn（零點）的位置，將直線的斜率增加/十倍頻[註解1]。

在每個對應ω=yn（極點）的位置，將直線的斜率減少/十倍頻。

圖在起始點時的增益值，可以依照圖中的角頻率下限，計算其對應的|H(jω)|。

圖在起始點時的斜率則依照有多少零點及極點低於角頻率下限，再依上述二個方式計算斜率，若所有點及極點均高於角頻率下限，起始點時的斜率為零。

在處理無法分解的二次多項式時，多半可以用的方式近似。

 修正後的增益圖 直線近似的增益圖可以用以下方式修正： 針對每個零點，在直線上方的位置增加一點。

針對每個極點，在直線下方的位置增加一點。

以原來的直線為漸近線繪製平滑曲線，通過上述各點，即為修正後的增益圖。

上述的修正方式只針對實數的極點或零點。

若xn或yn為複數時，比較好的作法仍是找出無法分解的二次式，計算其在零點（或極點）附近的數值，再依數值決定要在直線上方或下方加點。

 直線近似的相位圖 考慮一個以下型式的傳遞函數： 可以先依每個極點及零點分別繪製相位圖，再將各相位圖相加。

相位圖的曲線為以下的反正切函數−arctan(Im[H(s)]/Re[H(s)])。

在繪製相位圖時，針對每個極點及零點： 若A為正數，其對應的相位圖是0度的水平線。

若A為負數，其對應的相位圖是180度的水平線。

對每個穩定的零點ω=xn（其零點滿足Re(z)<0，即Re(xn)>0），低於的部份為相位為0度的水平線，之後的直線斜率為+度/十倍頻，到為止，該點的相位為+度，超過此頻率的部份為相同相位的水平線。

對每個穩定的極點ω=yn（其極點滿足Re(p)<0，即Re(yn)>0），低於的部份為相位為0度的水平線，之後的直線斜率為-度/十倍頻，到為止，該點的相位為-度，超過此頻率的部份為相同相位的水平線。

若是不穩定的零點（或極點），其相位增加或減少的趨勢恰與上述相反。

將所有的相位圖相加，即為傳遞函數的完整相位圖。

極點和穩定度        電路的穩定(stable)下個定義：電路中的所有自然響應隨時間而衰減至零者，又只有電路極點p的實部為負值時，才能使自然響應衰減至零，故電路的穩定，惟有在每個極點的時才存在。

       換句話說，穩定度是需電路的所有極點均在複數平面的左半面。

    BodePlotJavaApplet http://www.williamsonic.com/BodePlot/index.html Thisappletacceptstransferfunctioncoefficientsasinput,andcalculatesmagnitudeandphaseresponseoverarangeoffrequencies.Anewversionisnowavailablewhichletsyousetthestartfrequencyandchooseunitsforthehorizontalaxis. BodePlotAppletFeatures Variablenumberofnumeratoranddenominatorcoefficients,foranalyzingfiltersofvaryingorder.Coefficientsmaybeseparatedbyspacesorcommas. Twoormorepolynomialsofvaryingordercanbemultipliedtogether,foranalyzingcascadedfiltersections.Encloseeachpolynomialinparenthesesorsquarebrackets. Polynomialcoefficientscanbepastedfromotherapplications.Complexresultscanbecopiedtootherapplications. Verticalaxisscalesautomaticallytoputpeakgainnearthetop.Horizontalaxisnormalizedtoacenterfrequencyof1radian/second. Writeonce,runanywherecapabilityallowstheapplettorunonanyplatformsupportedwithaJavaruntimeenvironment.Canberunovertheweb,orlocallyinabrowser,appletviewer,orfromthecommandline. Opensourceishereforyoutodownload.Pleaserememberthatonlyyoucandetermineifthisappletisusableinyourapplication,andonlyyouknowifyouarequalifiedtomakemodifications. UsingtheBodePlotApplet TheBodePlotorBodeDiagram1isaconvenientwaytorepresentthesteadystatefrequencyresponseofanelectronicfilter.Here,amplituderesponseisplottedinbluewithlogarithmicfrequencyinthehorizontalaxisovera2decaderange,againstalogarithmicscaleof5dBperdivisionintheverticalaxis.Phaseresponseisplottedinmagentaagainstalinearscaleofπ/4radians,or45°perdivisionintheverticalaxis.Followthesestepstousetheapplet: Obtainthetransferfunctionofthefilter.ThisistheratiooftheLaplacetransformsoftheoutputsignalovertheinputsignal.Adesignexampleisgivenbelow. Typeorpastethenumeratorcoefficientsintothefirsttextfield.Thesecanbeanymixofintegerandrealnumbers,separatedbycommasorspaces.Coefficientsstartwiththehighestorderontheleft,andcontinuetozerothorderontheright.Youcanleaveoffleadingzero-valuecoefficients,butmustincludeanyzero-valuecoefficientsafterthefirstnon-zeroone.Negativevaluesareallowed,aswouldbeusedinall-passorphaseshiftfilters. Typeorpastethedenominatorcoefficientsintothesecondtextfield,formattedthesameasthenumerator.Forpracticalfilters,denominatorcoefficientsshouldalwaysbenon-zeroandpositive. Clickonthe[CalculatePlot]buttontoseetheresponsewiththecoefficientsyouhaveentered.Modifythecoefficientsandclickon[CalculatePlot]againtoseehowtheresponsechanges. DesignExample ToillustratehowtousetheBodePlotApplet,I'vetakenanexamplefromDonLancaster2.Thedesignisanoctave-widefourthorderbandpassfiltercoveringtherangefrom200Hzto400Hz.Thefilterisimplementedastwocascadedsecondorderbandpassfiltersectionswiththeircenterfrequenciesshiftedupanddownfromthenominalcenterfrequencyof277Hzbyaratioof1.35:1.Eachofthetwosectionsisamultiplefeedbackfilterbuiltaroundanopampasshownintheschematicdiagram.Resistorandcapacitorvaluesforeachsectionareshowninthetable. BPFR1R2C1C2 FirstSection 4.4kOhms 44kOhms .056uF .056uF SecondSection 2.4kOhms 24kOhms .056uF .056uF Mr.Lancastergivesthetransferfunctionforeachsectionas: Plugintheactualvaluestoobtainthetransferfunctioncoefficientsforeachfiltersection. Beforeplottingthefrequencyresponsehowever,weneedtonormalizethecoefficientstoacenterfrequencyof1radian/second.ThisisdonebymultiplyingSby(2πfc)whereveritappears3.Thenominalcenterfrequencyofthefinishedfilteris277Hz,sowemultiplySby1740.44. Thisfinallygivesusthecoefficientsweneedtoplotthenormalizedfrequencyresponseofthecompletefilter.Copythesenumbersintotheapplet'sNumeratorandDenominatorfieldsandclickthe[CalculatePlot]buttontoseetheresult. FirstSectionSecondSectionBothSections Numerator -2.33184,0 -4.27505,0 (-2.33184,0)(-4.27505,0) Denominator 1,.466369,.54375 1,.855013,1.8276 (1,.466369,.54375)(1,.855013,1.8276) BandpassFilterBreadboardResults ToverifytheaccuracyoftheBodePlotApplet,IgatheredabunchofcomponentsandpluggedthemintomybreadboardwithapairofTL082dualopamps.Iusedparallelandseriescombinationstogetclosetothespecifiedresistanceandcapacitancevalues,butwasstill5%to10%offoncenterfrequencyforeachsecondordersection.IthenreducedthevaluesofR1andputtrimmerpotentiometersinseries.Sincethecharacteristicsofeachfiltersectionrelyinpartonthesourceimpedanceseenbythesection,ImadesuretodriveeachfiltersectionfromanotherTL082output.Toaccomplishthis,Iconnectedoneopampasaunitygainfollowertoserveasaninputbuffer. Usingthetrimmers,Isetthecenterfrequencyofeachfiltersectiontoitsnominalvalue,205Hzinthefirstsectionand375Hzinthesecond.Youcoulddothisbypeakingtheamplituderesponseatthecenterfrequency,butitismucheasiertoconnecttheinputandoutputofthefiltersectionyouaretrimmingtotheXandYinputsofanoscilloscopetoobtainaLissajouspattern.Thenjusttrimthefilterforexactly180°phaseshift(ellipseclosestoasinglediagonalline)whendrivenatthedesiredcenterfrequency. Afterthissimpletuneup,ImeasuredtheoverallamplituderesponseofthecompletedfilterandplottedtheresultsinMSExcel.ThefollowingscreenshotfromExcelshowsthemeasuredpointsasbluediamonds.Forcomparison,IpastedthepredictedvaluesfromtheBodePlotAppletintoExcel,shownbelowinmagenta.Asyoucansee,theagreementbetweenpredictedgainandactualmeasuredresultsisalmostperfect. References C.PhillipsandR.Harbor,FeedbackControlSystems,3rded.EnglewoodCliffs:Prentice-Hall,Inc.1996. DonLancaster,ActiveFilterCookbook,2nded.Thatcher:SynergeticsPress,1995. 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