完全數的小故事 - 數學王子的家

美麗的起源. 畢達哥拉斯及其門徒稱6及28為完全數(或稱為完美數)，因為它們都是其真因數的和： · 所以，一個正整數的真因數和是本身，我們就稱它為完全數！ 古人種樹 · 天才的 ...     作者：見文後說明。

  上帝利用6天的時間創造了世界；月亮繞行地球只須28天；6和28的數字是否有無 特別之處呢？古希臘人以〝完全〞來替6和28命名，因為他們認為這些數是最完 美的，為什麼呢？ 　 美麗的起源 畢達哥拉斯及其門徒稱6及28為完全數(或稱為完美數)，因為它們都是其真因數的和： 6的真因數：1，2，3其和1+2+3=6 28的真因數：1，2，4，7，14其和為1+2+4+7+14=28 所以，一個正整數的真因數和是本身，我們就稱它為完全數！ 　 古人種樹 古人只知道四個完全數，分別是6、28、496和8128，因此他們做了幾個有趣的猜測： (1)由於前四個完全數的末位數字不是6就是8，而且還是依次出現，所以所有的完全 數的末位數量都是6或8，甚至是輪流出現的！ (2)第一個完全數6是一位數；第二個完全數28是二位數；第三個完全數496是三位數 ；第四個完全數8128是四位數；所以第五個完全數一定是五位數，以此類推 這些有趣的猜測結果是對還是錯呢？讓我們先來看看如何找出完全數！ 　 天才的軌跡 歐幾里得發現(只有希臘神才知道他是怎樣發現的)這四個完全數都是由公式 [2^(n-1)]*[(2^n)-1]在n=2，3，5，7時產生的： n=2　　[2^(n-1)]*[(2^n)-1]=2*3=6 n=3　　[2^(n-1)]*[(2^n)-1]=4*7=28 n=5　　[2^(n-1)]*[(2^n)-1]=16*31=496 n=7　　[2^(n-1)]*[(2^n)-1]=64*127=8128 歐幾里得更發現一個重要的事實，他將之寫成一個定理，這也就是在幾何原 本第九卷的最後一個定理： 公式[2^(n-1)]*[(2^n)-1]中，每當[(2^n)-1]是個質數的時候，就產生一個偶數 的完全數。

【證明】若[(2^n)-1]是一個質數，設為p則令m=[2^(n-1)]*[(2^n)-1]=[(2^n)-1]*p 這樣m的因數為 1，2，2^2，…，(2^n)-1，p，2p，(2^2)p，…..，[2^(n-1)]p 所以m的因數和為 [(2^n)-1]+p[(2^n)-1]= [(2^n)-1]*(1+p) =[(2^n)-1]*(1+(2^n)-1) =(2^n)*((2^n)-1) =2m 所以m的真因數和為2m-m=m故得證！ 　 不斷進步 過了約兩千年後，瑞士的偉大數學家尤拉證明了這個定理的逆敘述亦成立，即 若ｍ是個偶完全數，則ｍ=[2^(n-1)]*[(2^n)-1]，其中(2^n)-1是質數。

【證明】令s(m)表為m的所有正因數的和。

因為m為偶數， 所以找得到一個正整數n>=2使得(2^n)-1整除m，但2^n不 整除m， 於是可設m=[2^(n-1)]*a，a為奇數， (2^n)*a=2m=s(m)=s([2^(n-1)])*s(a)=[(2^n)-1]*s(a) (2^n)*a=[(2^n)-1]*s(a) 因為2^n與(2^n)-1互質， 所以2^n整除s(a)，令s(a)=(2^n)*b， a=[2^(n-1)]*b 若b>1，則a至少有三個正因數：1，b，a， 則s(a)>=1+b+a=1+b+[2^(n-1)]*b=(2^n)*b+1， 此與s(a)=(2^n)*b矛盾！ 故b=1，所以a=[2^(n-1)]*b，又因為s(a)=1+a， 因此m=[2^(n-1)]*[(2^n)-1]，且(2^n)-1為質數。

…………證畢 　 歸納成果 現在我們將歐幾里得和尤拉的結果寫成下面的定理： 設m是個偶數，則m是完全數的充要條件是存在一個質數p 使得(2^p)-1是質數，且m=[2^(p-1)]*[(2^p)-1] 這個定理告訴了我們如何去尋找這誘人的完全數，我們將(2^p)-1這個 數稱為梅聖尼數，而已知的梅聖尼質數只有30個，所以已知的偶完全數 只有30個： 序數 完全數 完全數的位數 1 2*(2^2-1)=6 1 2 2^2*(2^3-1)=28 2 3 2^4*(2^5-1)=496 3 4 2^6*(2^7-1)=8128 4 5 2^12*(2^13-1)=33,550,336 8 6 2^16*(2^17-1)=8,589,869,056 10 7 2^18*(2^19-1)=137,438,691,328 12 8 2^30*(2^31-1) 19 9 2^60*(2^61-1) 37 10 2^88*(2^89-1) 54 11 2^106*(2^107-1) 65 12 2^126*(2^127-1) 77 13 2^520*(2^521-1) 314 14 2^606*(2^607-1) 366 15 2^1278*(2^1279-1) 770 16 2^2202*(2^2203-1) 1327 17 2^2280*(2^2281-1) 1373 18 2^3216*(2^3217-1) 1937 19 2^4252*(2^4253-1) 2561 20 2^4422*(2^4423-1) 2663 21 2^9688*(2^9689-1) 5934 22 2^9940*(2^9941-1) 5985 23 2^11,212*(2^11,213-1) 6751 24 2^19,936*(2^19,937-1) 12003 25 2^21,700*(2^21,701-1) 13006 26 2^23,208*(2^23,209-1) 13973 27 2^44,498*(2^44,497-1) 26790 28 2^86,242*(2^86,243-1) 51924 29 2^132,048*(2^132,049-1) 79,502 30 2^216,090*(2^216,091-1) 130,100 　　　　　                                         　●在GIMPS的研究中，說明目前找到了31個 Mersenneprime,這個尋找的工作 　　仍在進行中… 【備註】 1.前24個完美數是在1975年以前發現的，其中最後一個是2^19936*(2^19937 　　－1)，是在1971年發現的。

2.而這24個中有一半是在1952年以後發現的；而第30個完全數是在1986年9月 　　被發現的！ 　 結論 　　由上我們可以看出古希臘人的第二個猜測(第五個完全數一定是五位數，以此 類推！)是錯的！不過關於第一個猜測（所有的完全數的末位數量都是6或8，甚至 是輪流出現的！）雖並不完全正確(因為6和8並未輪流出現)，不過，他們似乎 猜對了一件事，只要是偶完全數，個位數不是6就是8！ 　　為什麼呢？這是根據下面的定理： 對於任意的正整數n，令an=22n(22n+1-1)，則 若n是偶數，則an的個位數是6且十位數是奇數； (2)若n是奇數，則an的個位數是8且十位數是2； 　 【證明】留給有興趣的人自己證明！！ 　 細心的讀者一定會發現：目前已知的完全數都是偶數，那有沒有奇完全 數呢？ 我們知道由歐幾里得公式所得到的完全數一定是偶數，那麼，不從歐幾里得公式 可以找到任何一個完全數嗎？也就是說奇完全數存在嗎？數學家們經過了許多的 努力，得到以下若干的結論： １任何一個奇完全數一定能夠被八個不同的質數整除，其中最大的質數必 　　超過三十萬，而第二大的質數必超過一千！ ２如果一個奇完全數不能被三整除，那麼它必定被十一個不同的質數所整除！ ３若一個奇完全數被12除的餘數是1，則它被36除的餘數會是9！ 　 數學家們做了這麼多努力，越覺得奇完全數存在的可能性越小！在1973年， 數學家海琪斯透過電腦證明出在10^50以下，沒有奇完全數的存在！他的證明全 部有83頁，曾經由其他的數學家們予以詳細驗證，確定其過程是無誤的。

所以， 我們可以知道在10^50以下，沒有奇完全數的存在！ 從1973年以來，其他的數學家依然透過電腦，宣布在10^200以下，沒有奇完全數 的存在！(這並未經過數學家的詳細驗證！) 完全數如何求出？是否有無限多個？ 　這兩個問題是數學家們在幾千年前就提出來了 ，然而，直到今日，這仍然沒有完整的答案，我們只能提出一部分的解答，更確切 的說，我們只能說明那一種偶數是完美數，至於這種偶數是否有無限多個，及有無 奇完美數的存在，這就有待後世的努力！ 　 【延伸內容】 梅聖尼(Mersenne)是十七世紀的巴黎修道士，他在修道院職務之餘研究數論。

在1644年，梅聖尼說明過梅聖尼數字的2^13-1、2^17-1、2^19-1都是質數(分別為 8,191、131,071、524,287)，並聲明，巨大的梅聖尼數字2^167-1將可以證明是 一個質數，這樣大膽的聲明在往後的兩百多年，竟然沒想到引起任何人的爭論！ 到了1903年，在美國數學學會的會議中，一名哥倫比亞大學的教授 佛蘭克‧納爾遜‧柯爾起立遞呈一篇研究報告，這篇報告很謙虛的題名為 〝有關大數字的因子分解法〞。

聞名的數學歷史家艾立克‧譚普爾‧貝爾 記錄當時的所發生的情形，他寫道，「柯爾─他一直是說話很少的人─跑 到黑板那邊，不聲不響的開始寫下算式，把2一直乘到167次方，隨後小心 的減去1。

他不吭一聲地在黑板上清除留出空位，隨後寫出相乘的數字193,707,721 *761,838,257,287，這兩個結果吻合，於是梅聖尼大膽宣布2167-1是一個質數的申 言，就此打入數學神話的冷宮裡去。

他第一次首開紀錄(而且是唯一的紀錄)，美國 數學學會上所有的聽眾，對這篇研究報告的作者大大地鼓掌喝采。

柯爾回到座位上 去亦一言不發，沒有人問他問題。

」 (節錄自數學傳播季刊十卷四期p54，曹宏熙譯，完全數) 　 　數學王子的說明： 　這篇文章是數學王子在網路上找到的一篇文章，但其中並未註明作者，因此，此 　篇文章著作權，仍屬該作者所有，但網頁排版整理後之版權為數學王子所有。

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