布萊克-休斯模型- 維基百科，自由的百科全書

布萊克-休斯模型（英語：Black-Scholes Model），簡稱BS模型，是一種為衍生性金融商品中的選擇權定價的數學模型，由美國經濟學家麥倫·舒爾斯與費雪·布萊克首先提出。

布萊克-休斯模型 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 「Black-ScholesModel」的各地常用譯名中國大陸布萊克-舒爾斯模型港臺布萊克-休斯模型 布萊克-休斯模型（英語：Black-ScholesModel），簡稱BS模型，是一種為衍生性金融商品中的選擇權定價的數學模型，由美國經濟學家麥倫·舒爾斯與費雪·布萊克首先提出。

此模型適用於沒有派發股利的歐式選擇權。

羅伯特·C·墨頓其後修改了數學模型，使其於有派發股利時亦可使用，新模型被稱為布萊克-休斯-墨頓模型（英語：Black–Scholes–Mertonmodel）。

此模型的應用是透過買賣價格過高或是過低的選擇權，並同時與持有的資產對沖，來消除可能潛在的風險，並因此而套利。

此方法也被稱為「動態Delta中性」。

此公式問世後帶來了選擇權市場的繁榮，並且也是在投資營行與對沖基金中被廣為使用的基礎模型。

雖然在很多情況下被使用者進行一定的改動和修正。

很多經驗測試表明這個公式足夠貼近市場價格，然而也有會出現差異的時候，如著名的「波動率的微笑（英語：Volatilitysmile）」。

然而它假設價格的變動，會符合常態分布（即俗稱的鐘形曲線），但在金融市場上經常出現符合統計學厚尾現象的事件，這影響此公式的有效性。

1997年，麥倫·休斯和羅伯特·默頓憑借該模型獲得諾貝爾經濟學獎。

費雪·布雷克不幸在1995年離世，因此未能獲獎。

目次 1重要假設 2模型 2.1布萊克-休斯方程 2.2公式 3派發股利的期權定價模型 4關聯項目 5外部連結 重要假設[編輯] BS模型假設金融市場存在最少一種風險資產（如股票）及一種無風險資產（現金或債券）。

假設金融資產是： 無風險資產的投資報酬是不變的，此報酬率稱作無風險利率 股票價格遵從幾何布朗運動（隨機漫步） 股票在選擇權有效期內不分派紅利 股票價格服從對數常態分布，即金融資產的對數收益率服從常態分配 假設金融市場是： 不存在套利機會 能以無風險利率借出或借入任意數量的金錢 能買入及賣出（沽空）任意數量的股票 市場無摩擦，即不存在交易稅收和交易成本 此外，假設選擇權是歐式選擇權，即只可在特定日期行權。

模型[編輯] 布萊克-休斯方程式[編輯] 對於有效期內不派發紅利的歐式選擇權，其價格遵從以下偏微分方程式： ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle{\frac{\partialV}{\partialt}}+{\frac{1}{2}}\sigma^{2}S^{2}{\frac{\partial^{2}V}{\partialS^{2}}}+rS{\frac{\partialV}{\partialS}}-rV=0} 把方程式重寫成左右兩邊： ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 = r V − r S ∂ V ∂ S {\displaystyle{\frac{\partialV}{\partialt}}+{\frac{1}{2}}\sigma^{2}S^{2}{\frac{\partial^{2}V}{\partialS^{2}}}=rV-rS{\frac{\partialV}{\partialS}}} 左方代表選擇權的時間值及與即期價格的凸性（英語：Convexity(finance)）。

右方代表選擇權長倉的無風險報酬及 ∂ V ∂ S {\displaystyle{\frac{\partialV}{\partialS}}} 股標的物短倉。

公式[編輯] 利用以下約束條件，可解認購選擇權（CallOption）的理論值。

C ( 0 , t ) = 0  forall  t C ( S , t ) → S  as  S → ∞ C ( S , T ) = max { S − K , 0 } {\displaystyle{\begin{aligned}C(0,t)&=0{\text{forall}}t\\C(S,t)&\rightarrowS{\text{as}}S\rightarrow\infty\\C(S,T)&=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}} 認購選擇權的理論價格是： C = S × N ( d 1 ) − e − r × T × L × N ( d 2 ) {\displaystyle\displaystyleC=S\timesN(d_{1})-e^{-r\timesT}\timesL\timesN(d_{2})} 其中： d 1 = ln S L + ( r + 0.5 × σ 2 ) × T σ × T {\displaystyled_{1}={\begin{smallmatrix}\displaystyle{\frac{\ln\displaystyle{\frac{S}{L}}+\left(r+0.5\times\sigma^{2}\right)\times{T}}{\sigma\times{\sqrt{T}}}}\end{smallmatrix}}} d 2 = d 1 − σ × T {\displaystyled_{2}={\begin{smallmatrix}\displaystyled_{1}-\sigma\times{\sqrt{T}}\end{smallmatrix}}} ln：自然對數； C：選擇權初始合理價格； L：選擇權交割價格； S：交易所金融資產即期價格； T：選擇權有效期； r：連續複利計無風險利率Ｈ； σ 2 {\displaystyle\sigma^{2}} ：年度化變異數； N()：常態分布變數的累積分布函數。

派發股利的選擇權定價模型[編輯] 布萊克-休斯模型假定在選擇權有效期內標的股票不派發股利。

若派發股利需改用布萊克-休斯-墨頓模型，其公式如下： C = S × e − k × t × N ( d 1 ) − e − r × T × L × N ( d 2 ) {\displaystyle\displaystyleC=S\timese^{-k\timest}\timesN(d_{1})-e^{-r\timesT}\timesL\timesN(d_{2})} 其中： d 1 = ln S L + ( r − k + 0.5 × σ 2 ) × T σ × T {\displaystyled_{1}={\begin{smallmatrix}\displaystyle{\frac{\ln\displaystyle{\frac{S}{L}}+\left(r-k+0.5\times\sigma^{2}\right)\times{T}}{\sigma\times{\sqrt{T}}}}\end{smallmatrix}}} d 2 = d 1 − σ × T {\displaystyled_{2}={\begin{smallmatrix}\displaystyled_{1}-\sigma\times{\sqrt{T}}\end{smallmatrix}}} k：表示標的股票的年股利收益率（假設股利連續支付，而不是離散分期支付） Ln：自然對數； C：選擇權初始合理價格； L：選擇權交割價格； S：交易所金融資產現價； T：選擇權有效期； r：連續複利計無風險利率Ｈ； σ 2 {\displaystyle\sigma^{2}} ：年度化變異數； N()：常態分布變數的累積分布函數。

關聯項目[編輯] 金融工程學 金融數學 瓦西塞克模型（英語：Vasicekmodel） Cox–Ingersoll–Rossmodel 外部連結[編輯] TheBlack–ScholesModel（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）,global-derivatives.com Black,Merton,andScholes:Theirworkanditsconsequences（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）,byAjayShah TheBlack–ScholesOptionPricingModel（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）,optiontutor 閱論編機率論：隨機過程離散時間（英語：Discrete-timestochasticprocess） 伯努利過程 分支過程 中餐館過程 高爾頓-沃特森過程（英語：Galton–Watsonprocess） 獨立同分布 馬可夫鏈 莫蘭過程（英語：Moranprocess） 隨機漫步 循環擦除隨機漫步（英語：Loop-erased） 自避行走 連續時間（英語：Continuous-timestochasticprocess） 貝塞爾過程 出生-死亡過程 維納過程/布朗運動 布朗橋 Excursion（英語：Brownianexcursion） 分數布朗運動（英語：FractionalBrownianmotion） 幾何布朗運動 Meander（英語：Brownianmeander） 柯西過程（英語：Cauchyprocess） Contactprocess（英語：Contactprocess(mathematics)） Coxprocess（英語：科克斯过程） Diffusionprocess（英語：Diffusionprocess） Empiricalprocess（英語：Empiricalprocess） 費勒過程（英語：Fellerprocess） 弗萊明-維奧過程（英語：Fleming–Viotprocess） 伽馬過程（英語：Gammaprocess） 亨特過程（英語：Huntprocess） Interactingparticlesystem（英語：Interactingparticlesystem）s 伊藤積分 伊藤過程 跳躍擴散（英語：Jumpdiffusion） 跳躍過程 萊維過程 Localtime（英語：Localtime(mathematics)） 馬可夫加過程（英語：Markovadditiveprocess） 麥基恩-弗拉索夫過程（英語：McKean–Vlasovprocess） 奧恩斯坦-烏倫貝克過程 泊松過程 複合泊松過程（英語：CompoundPoissonprocess） 非齊次泊松過程 泊松點過程 施拉姆-勒夫納演進 半鞅 Sigma-martingale（英語：Sigma-martingale） Stableprocess（英語：Stableprocess） Superprocess（英語：Superprocess） Telegraphprocess（英語：Telegraphprocess） Variancegammaprocess（英語：Variancegammaprocess） 維納過程 Wienersausage（英語：Wienersausage） 離散時間與連續時間 分支過程 寇斯過程 隱藏式馬可夫模型（HMM） 馬可夫過程 鞅 鞅差序列（英語：Martingaledifferencesequence） 局部鞅（英語：Localmartingale） Sub- Super-（英語：Super-） Randomdynamicalsystem（英語：Randomdynamicalsystem） Regenerativeprocess（英語：Regenerativeprocess） Renewalprocess（英語：Renewalprocess） 白雜訊 場及其它 狄利克雷過程（英語：Dirichletprocess） 寇斯隨機場（英語：Gaussianrandomfield） 吉布斯測度（英語：Gibbsmeasure） 霍普菲爾德神經網絡 易辛模型 馬可夫網絡 滲流理論 皮特曼-約爾過程（英語：Pitman–Yorprocess） 點過程（英語：Pointprocess） Cox（英語：Pointprocess#Coxpointprocess） 泊松過程 玻茨模型 隨機場 隨機圖 時間序列模型 ARCH模型 ARIMA模型 自迴歸模型 ARMA模型 廣義ARCH模型 移動平均模型 金融模型 布萊克-德爾曼-托伊模型（英語：Black–Derman–Toymodel） 布萊克-卡拉辛斯基模型（英語：Black–Karasinskimodel） 布萊克-舒爾茲模型 陳模型 Constantelasticityofvariance(CEV)（英語：Constantelasticityofvariancemodel） 科克斯-英格索爾-羅斯模型(CIR)（英語：Cox–Ingersoll–Rossmodel） Garman–Kohlhagen（英語：Garman–Kohlhagenmodel） HJM框架 赫斯頓模型（英語：Hestonmodel） Ho–Lee（英語：Ho–Leemodel） 赫爾-懷特模型 LIBOR市場模型（英語：LIBORmarketmodel） SABRvolatility（英語：SABRvolatilitymodel） 瓦西塞克模型（英語：Vasicekmodel） 精算學 Bühlmann（英語：Bühlmannmodel） Cramér–Lundberg（英語：Cramér–Lundbergmodel） Riskprocess（英語：Riskprocess） Sparre–Anderson（英語：Sparre–Andersonmodel） 等候理論 Bulk（英語：Bulkqueue） Fluid（英語：Fluidqueue） Generalizedqueueingnetwork（英語：G-network） M/G/1（英語：M/G/1queue） M/M/1 M/M/c（英語：M/M/cqueue） 性質 右連左極函數 Continuous（英語：Continuousstochasticprocess） Continuouspaths（英語：Sample-continuousprocess） 遍歷性 Exchangeable（英語：Exchangeablerandomvariables） Feller-continuous（英語：Feller-continuousprocess） Gauss–Markov（英語：Gauss–Markovprocess） 馬可夫性質 Mixing（英語：Mixing(mathematics)） Piecewisedeterministic（英語：PiecewisedeterministicMarkovprocess） 可預測過程 循序可測過程 Self-similar（英語：Self-similarprocess） 平穩過程 Time-reversible（英語：Timereversibility） 極限定理 中央極限定理 Donsker'stheorem（英語：Donsker'stheorem） Doob'smartingaleconvergencetheorems（英語：Doob'smartingaleconvergencetheorems） 遍歷理論 Fisher–Tippett–Gnedenkotheorem（英語：Fisher–Tippett–Gnedenkotheorem） Largedeviationprinciple（英語：Largedeviationprinciple） 大數法則 重對數律 Maximalergodictheorem（英語：Maximalergodictheorem） Sanov'stheorem（英語：Sanov'stheorem） 不等式 Burkholder–Davis–Gundy（英語：Burkholder–Davis–Gundyinequalities） Doob'smartingale（英語：Doob'smartingaleinequality） Kunita–Watanabe（英語：Kunita–Watanabeinequality） 工具 Cameron–Martinformula（英語：Cameron–Martinformula） 隨機變數的收斂 Doléans-Dadeexponential（英語：Doléans-Dadeexponential） Doobdecompositiontheorem（英語：Doobdecompositiontheorem） Doob–Meyerdecompositiontheorem（英語：Doob–Meyerdecompositiontheorem） Doob'soptionalstoppingtheorem（英語：Doob'soptionalstoppingtheorem） Dynkin'sformula（英語：Dynkin'sformula） 費曼－卡茨公式 右連左極函數 Girsanovtheorem（英語：Girsanovtheorem） Infinitesimalgenerator（英語：Infinitesimalgenerator(stochasticprocesses)） 伊藤積分 伊藤引理 Kolmogorovcontinuitytheorem（英語：Kolmogorovcontinuitytheorem） Kolmogorovextensiontheorem（英語：Kolmogorovextensiontheorem） Lévy–Prokhorovmetric（英語：Lévy–Prokhorovmetric） Malliavincalculus（英語：Malliavincalculus） Martingalerepresentationtheorem（英語：Martingalerepresentationtheorem） Optionalstoppingtheorem（英語：Optionalstoppingtheorem） Prohorovtheorem（英語：Prohorovtheorem） 二次變差 Reflectionprinciple（英語：Reflectionprinciple(Wienerprocess)） Skorokhodintegral（英語：Skorokhodintegral） Skorokhod'srepresentationtheorem（英語：Skorokhod'srepresentationtheorem） 右連左極函數 Snellenvelope（英語：Snellenvelope） 隨機微分方程式 Tanaka（英語：Tanakaequation） 停時 隨機積分 Uniformintegrability（英語：Uniformintegrability） Usualhypotheses（英語：Usualhypotheses） 維納空間 Classical（英語：ClassicalWienerspace） Abstract 相關領域 精算學 計量經濟學 遍歷理論 極值理論（EVT） Largedeviationstheory（英語：Largedeviationstheory） 金融數學 數理統計學 機率論 等候理論 Renewaltheory（英語：Renewaltheory） Ruintheory（英語：Ruintheory） 統計學 隨機分析 時間序列分析 機器學習 分類 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=布莱克-舒尔斯模型&oldid=68256510」 分類：數理經濟學經濟模型金融數學金融理論選擇權數學模型隱藏分類：含有英語的條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 已展開 已摺疊 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 已展開 已摺疊 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 DeutschEnglishEspañolEestiفارسیSuomiFrançaisעבריתՀայերենItaliano日本語한국어NederlandsNorskbokmålPolskiPortuguêsРусскийTürkçeУкраїнськаTiếngViệt 編輯連結