數學和語言(1):公理和定義|方格子vocus
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數學中的定義則通常會提出一個具體名詞、符號,並充分說明這個名詞和符號的具體意思。
例如線性代數在一開始就先定義什麼是「向量空間」(Vector space), ...
取消數學和語言(1):公理和定義Caspar追蹤數學和語言(1):公理和定義Caspar發佈於從生活看數學追蹤2019-08-06|閱讀時間約3分鐘圖片來源:https://pxhere.com/en/photo/1180659,授權方式:CC0PublicDomain:Freeforpersonalandcommercialuse,Noattributionrequired
數學和人類溝通使用的語言十分相似,但卻常受人忽視。
因為過度重視考試的解題技巧與速度,人們學了許久數學,不見得都能洞察數學和語文的相似性。
但是,本篇文章將介紹讀者,數學可以視為世界上最精準的語言,這篇文章同時分享閱讀數學專業書籍時,如何抱著學習語言的心學習數學。
這篇文章以輕鬆的方式讓讀者看見數學的另一面貌。
一、數學中的公理與定義
數學中有許多細分領域,而每一門細分領域的當中,公理和定義均不會提供證明,公理可以看為這門數學領域開始的根本起源,公理在一切定理之前就存在,所以數學家不對公理證明,如歐幾里德在幾何原本中討論定理前,就先寫了許多公理,除了較難理解的第五公理外,歐幾里德提出的公理大多基於現實中的觀察,符合直覺,例如:任意線段可以無限延伸後成為一條直線、所有直角都相等、從一點到另一點可畫一條直線,歐幾里德所假設的公理集合起來,就形成了歐幾里德幾何學。
每個數學領域的公理不盡相同,但無論哪個數學領域,數學家都遵守某樣「公理」,需要先假設並承認某些真理(公理),才可以在這些公理的基礎下,進一步對這門數學領域的理論進行研究。
數學中的定義則通常會提出一個具體名詞、符號,並充分說明這個名詞和符號的具體意思。
例如線性代數在一開始就先定義什麼是「向量空間」(Vectorspace),而空間的定義又與「體」(Field)和「集合」(Set)的定義有關。
又或者數學家定義對一函數y=f(x)求導函數的過程就稱為「微分」等等。
二、「公理、定義」和語言
數學中的定義和公理可以這樣比喻。
公理和定義都是數學家溝通的基礎,如上所述,公理是一門數學領域的起點和根基,公理也會限制之後這門領域所探討的內容,所以黎曼幾何學和歐幾里德幾何學,雖然都是數學中的幾何學,但卻因為一開始提出的公理不同,而形成兩門學問。
黎曼幾何學系統適合時空相對論使用,而歐幾里德的幾何學系統,則跟日常所看到的平面幾何形狀之經驗相符。
公理除了可以看成根基或這門領域的地基,有時也向限制住溶液流動的容器,如上段舉例描述,不同的公理集合起來形成的公理系統,會限制在這個系統內所能討論的內容。
而容器內所裝的水或溶液,則像是數學家透過基本的定義和公理,來推導的定理或未確定的命題。
若以語言來做比擬,就像是一群人溝通時所內心共同擁有的話題或是共識,有共識和相同話題的人,才能談判、溝通,若沒有話題和共識的兩個人,就可能雞同鴨講,各說各話,因為兩人不是在討論同樣的話題,又或者兩人缺乏同樣的共識。
而數學中對詞彙、符號、操作等的詳細定義,像是一本數學家共同承認、使用的字典,同樣的用語言來做比擬,兩人對於詞彙的定義需要相同,才不會誤會彼此。
例如:日文和中國地區矩陣中橫排數字為「行」,直排數字為「列」;但台灣地區的中文卻以橫排數字為「列」,直排數字為「行」,雖然寫成漢字都是同樣的字詞:「行」、「列」,可是定義顛倒,兩方就無法溝通,還會互相誤會。
三、小結
總結來說,「公理」像是討論前人們所需具有的共識,沒有共識或互不同意對方對於某些真理前提的假設,兩人就不可能會相談甚歡,最終談話必定破裂;而定義則像是兩人需使用相同的詞彙定義,使用一本標準化的辭典,兩者都是為了消除誤會,並促進討論,這就是數學家重視定義和公理的原因。
0數學語文跨領域數學和語文的相似性科普贊助支持創作者,成為他繼續創作的動力吧!贊助作者介紹大學時專攻生命科學與數學,對於科學教育富有熱誠,時常感嘆台灣的科學教育抹滅學生的興趣,期望藉由文章讓讀者了解科學的學習方法與精神。
我也熱衷於研究親子教育、心理學、哲學、語文等,希望能在文章中提供讀者教育孩童的方法,並定期分享語言的學習文章,期望讓讀者們的生活更加充實。
查看作者本文發佈於由於學校上課時間有限,老師礙於進度壓力,時常無法慢慢一步步地帶領學生思考和理解數學中的觀念,而是倉促講解完概念後,開始進入計算解題。
然而數學不單是計算而已,數學真正的精髓卻是在於背後觀念中,邏輯的推演與歸納。
也因此期盼透過本專題的數學科普文,能幫助讀者看見數學的美,並提升讀者的思考、推理邏輯能力。
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