頻率響應、零極點和系統穩定性 - 台部落

考慮一個由一個零點和兩個極點組成的系統，在極座標上表示爲下圖：. 從上圖中可以看出傅立葉變換和拉普拉斯變換的關係： 傅立葉變換爲拉普拉斯變換在s ... 請輸入正確的登錄賬號或密碼 註冊 忘記密碼 首頁 電子學 正文 頻率響應、零極點和系統穩定性 原創 greatxiaoting 2018-11-0415:42 #一、Laplace變換 如圖所示一個低通濾波器，列基爾霍夫方程，得到線性微分方程：  CdVCdt+VRR=0CdVCdt+VRR=0   正是因爲電感電容的存在，使得電路方程出現微分、積分項。

而Laplace變換將微分方程轉化爲線性代數方程，成爲快速求解微分方程的有力工具。

但是列出電路的微分方程之後再進行Laplace變換，求解之後再進行反變換仍然很複雜，聰明的電子工程師們便想到直接將電路中的電阻器(R)、電容器(C)和電感元件(L)變換到s域。

R L C R sL 1sC1sC 於是這個電路可以看作一個分壓器   VC(s)Vin(s)=1/CsR+1/Cs=11+RCsVC(s)Vin(s)=1/CsR+1/Cs=11+RCs   下面便引出系統的傳輸函數。

二、傳遞函數 對於最簡單的連續時間輸入信號 x(t)x(t) ,和輸出信號 y(t)y(t) 來說傳遞函數 H(s)H(s) 所反映的就是零狀態條件下輸入信號的拉普拉斯變換X(s)=L{x(t)}X(s)=L{x(t)} 與輸出信號的拉普拉斯變換 Y(s)=L{y(t)}Y(s)=L{y(t)} 之間的線性映射關係：   Y(s)=H(s)X(s)Y(s)=H(s)X(s) 或者  H(s)=Y(s)X(s)=L{y(t)}L{x(t)}H(s)=Y(s)X(s)=L{y(t)}L{x(t)}   而當系統爲封閉迴路的負反饋系統時： 由上圖可得：   Y(s)=Z(s)G(s)⇒Z(s)=Y(s)G(s)Y(s)=Z(s)G(s)⇒Z(s)=Y(s)G(s)   X(s)−Y(s)H(s)=Z(s)=Y(s)G(s)⇒X(s)=Y(s)[1+G(s)H(s)]/G(s)X(s)−Y(s)H(s)=Z(s)=Y(s)G(s)⇒X(s)=Y(s)[1+G(s)H(s)]/G(s)   ⇒Y(s)X(s)=G(s)1+G(s)H(s)⇒Y(s)X(s)=G(s)1+G(s)H(s)   三、零極點 傳遞函數可以寫成如下更加普遍的形式：  X(s)=N(s)D(s)=M∏Ri=l(s−βi)∏Rj=l(s−αj)X(s)=N(s)D(s)=M∏i=lR(s−βi)∏j=lR(s−αj) 所有讓分母 D(s)D(s) 爲0等點 szsz 爲系統的零點；  所有讓分子 N(s)N(s) 爲0等點 spsp 爲系統的零點；   考慮一個由一個零點和兩個極點組成的系統，在極座標上表示爲下圖： 從上圖中可以看出傅立葉變換和拉普拉斯變換的關係： 傅立葉變換爲拉普拉斯變換在s平面虛軸 jωjω 上的求值。

由此，引出波特圖。

四、波特圖 從上圖中可以看到，系統的傳遞函數 H(Jω)H(Jω) 其實就是將複平面中極點零點到虛軸上某一點的向量相乘除：   H(jω)=N⃗ M1→M2→=z1−jω(p1−jω)(p2−jω)H(jω)=N→M1→M2→=z1−jω(p1−jω)(p2−jω)   表示爲幅度（取對數）和相位：   20log10|H(jω)|=20log10|z1−jω||p1−jω||p2−jω|20log10⁡|H(jω)|=20log10⁡|z1−jω||p1−jω||p2−jω|   ∠H(jω)=ej(α1−α2−α3)∠H(jω)=ej(α1−α2−α3)   其中 α1,α2,α3α1,α2,α3 爲圖中向量的角度，由此便可以畫出波特圖。

下面以一個低通RC濾波器電路舉例：   H(jf)=11+j2πfRCH(jf)=11+j2πfRC   ωc=1RCωc=1RC   H(jω)=11+jωωcH(jω)=11+jωωc   畫出波特圖如下： 下面介紹如何得到上圖。

增益圖   AvdB=20log|H(jω)|=20log1∣∣1+jωωc∣∣AvdB=20log⁡|H(jω)|=20log⁡1|1+jωωc|   =−20log∣∣∣1+jωωc∣∣∣=−10log[1+ω2ω2c]=−20log⁡|1+jωωc|=−10log⁡[1+ω2ωc2]   在角頻率小於ωcωc 時，因ωωcωωc 項較小，相對1而言可以忽略，因此其增益值爲定值1，在增益圖上是一條位在0dB的水平線 在角頻率大於ωcωc 時，因ωωcωωc 項較大，相對而言1可以忽略，因此式子簡化爲 −20logωωc−20log⁡ωωc ,是斜率爲-20dB/十倍頻的斜線 在角頻率等於ωcωc 時，−10log[1+ω2ω2c]=−10log2=−3dB−10log⁡[1+ω2ωc2]=−10log⁡2=−3dB，因此該點爲-3dB轉折點 相位圖   φ=−tan−1ωωcφ=−tan−1⁡ωωc   其中 ωω , ωcωc 分別是輸入角頻率及截止角頻率。

當輸入角頻率遠小於截止角頻率時，ωωcωωc比例的數值很小，因此相位角接近零度。

當頻率增加，相位角的絕對值也隨之增加。

在時 ω=ωcω=ωc 時爲-45度。

當輸入角頻率遠大於截止角頻率時，相位角會趨近-90度。

關於波特圖一點說明 注意 ：通常我們說波特圖中遇到一個極點幅度開始以20dB／十倍頻的斜率下降，在極點處相移爲-45度；零點則是幅度上升，相移45度。

有人會疑問零點、極點不應該使得傳遞函數爲零或者無窮大嗎？ 其實從s平面那幅圖可以看出，其實我們所謂的在波特圖中遇到的零點極點，並不是s平面中由傳遞函數公式求解出的零點極點。

只有當零點或者極點真的出現在虛軸 jωjω 上時，該頻率的輸入纔會導致零輸出或者無窮大輸出。

五、穩定性 巴克豪森判據： 對於一個負反饋系統：   YX(s)=H(s)1+βH(s)YX(s)=H(s)1+βH(s) 如果 βH(s)=−1βH(s)=−1 則增益爲無窮，電路產生振盪，此條件可表達爲：     |βH(s)|≥1|βH(s)|≥1   ∠βH(s)=−180o∠βH(s)=−180o   上式可以理解爲，輸入信號經過正向通路以及反饋迴路一圈之後相移360度（環路增益的180度以及負反饋疊加點的180度），使得負反饋變成正反饋。

此時如果環路增益的幅度大於1，則在輸入信號上不斷疊加一個放大了的信號，一個發散的數列不斷疊加必然是無界的。

因此，避免振盪的放法就是在環路增益相移180度時，保證其幅度小於1。

（收斂序列求和是有界的） 上圖中定義了“增益交點GX“、“相位交點PX“、“相位裕度PM“等概念。

（注意上圖爲環路增益的波特圖） 奈奎斯特判據 如果將波特圖繪製到極座標系中，可以得到奈奎斯特圖： 圖中紅色的線爲傳遞函數曲線，其與單位圓的交點爲GX點，與實軸的另一交點爲PX點，並且能直觀地看出相位裕度，增益裕度。

另外如果-1這個點不被傳遞函數曲線包圍，則系統是穩定的。

六、反饋、相位裕度、穩定性的關係 相位裕度 此處參照sansen書中方法 定義開環增益   AO=GAO=G 閉環增益  Ac=G1+GH≈1HAc=G1+GH≈1H 所以  dB(AOAc)=dB(AO)−dB(Ac)≈dB(GH)dB(AOAc)=dB(AO)−dB(Ac)≈dB(GH)   圖中 AOAO 曲線與 AcAc 曲線差就是環路增益，因此兩條曲線（實線）交點對應的頻率，也即AO/Ac=1AO/Ac=1，就是環路增益降到單位增益的頻率。

這個點就是增益交點，可以從這個點看相位裕度。

（思考的切入點：讓兩條曲線相交，其實在數學上是讓兩個函數相等） GBW 上圖定義出增益帶寬積，在閉環增益（Y/X）圖中，爲主極點的下降曲線與橫軸的交點出的頻率（單位增益）。

  20logAO−10log(1+(ωωmajor)2)=020log⁡AO−10log⁡(1+(ωωmajor)2)=0 得出  ω≈AO×ωmajor≈Ac×ωcω≈AO×ωmajor≈Ac×ωc   注意：  -GBW點其實是約等於的結果，但在對數圖中可以看作不變。

  -另外，對於多極點系統，還是看第一個主極點延長線與實軸的交點，即GBW=ω1⋅AOGBW=ω1⋅AO。

  -反饋係數改變，閉環增益相位曲線 ∠YX(jω)∠YX(jω) 是會改變的；而環路增益相位曲線 ∠βH(jω)∠βH(jω) 不變。

  -sansen書中看閉環增益轉折點求PM，其實它對應的是開環增益的相位圖，如下圖，所以不要被迷惑。

之所以這樣，是因爲雙極點系統，總相移肯定是180度。

而180度相移點是第二個極點再往右，若f2出現在GBW點右側，則系統相對比較穩定。

相位裕度、極點位置、尖峯相互關係 環路增益越大（圖中兩條曲線相差越寬），PM越小。

當PM很小的時候，閉環增益曲線就會產生尖峯。

開環增益   H(jω)=AO(1+jωω1)(1+jωω2)H(jω)=AO(1+jωω1)(1+jωω2) 閉環增益  YX=H1+βH=AOβAO+jω(1ω1+1ω2)+(jω)2ω1ω2YX=H1+βH=AOβAO+jω(1ω1+1ω2)+(jω)2ω1ω2   因爲 AO×ω1=GBWAO×ω1=GBW,所以  YX≈11+jωβGBW+(jω)2βGBWf2YX≈11+jωβGBW+(jω)2βGBWf2   =11+2ζωnjω+(jω)2(ωn)2=11+2ζωnjω+(jω)2(ωn)2   其中 ζζ 爲阻尼因子，ωnωn 爲諧振頻率。

PM的求解需要解釋一下： 因爲 PM=180o+∠H(GX)PM=180o+∠H(GX)，而對於雙極點系統，有   ∠ω=e−j(arctanωω1+arctanωω2)∠ω=e−j(arctan⁡ωω1+arctan⁡ωω2)   而對於 ω=GXω=GX 這個點，因爲 GX>>ω1GX>>ω1 所以第一級已經達到90度相移。

另外   GX=ω1(1+βAO)≈βω1AO=β⋅GBWGX=ω1(1+βAO)≈βω1AO=β⋅GBW 所以     PM=180o−90o−arctanGXω2=90o−arctanβ⋅GBWω2PM=180o−90o−arctan⁡GXω2=90o−arctan⁡β⋅GBWω2   可得   ωn=GBW⋅ω2⋅β−−−−−−−−−−−√ωn=GBW⋅ω2⋅β   ζ=12ω2GBW⋅β−−−−−−−−√ζ=12ω2GBW⋅β   PM=90o−arctanβ⋅GBWω2PM=90o−arctan⁡β⋅GBWω2   結論 由信號系統知識可知： ζ>1ζ>1，二階系統爲兩個實數極點，其實是兩個一階系統相乘；對應情況爲第二個極點 ω2ω2 非常遠（比如3GBW處，此時相位裕度60度～70度）； 0板子形狀---->按照選擇對象定義，即可使得電路板的形狀爲機械層的形狀。

鋪銅：選擇romoveddeadcopper（去除死銅），能夠使得鋪的銅在沒有 EE2BSP 2020-06-0713:27:08 示波器學習筆記（2）——模擬示波器 今天风和日丽 2020-02-2201:22:15 示波器學習筆記（1）------示波器基礎概括 今天风和日丽 2020-02-2201:22:15 圖文簡單介紹SDRAM greatxiaoting 2019-03-2014:24:05 調試（debug）的底層硬件邏輯——通過FPGA嵌入式軟核 EE2BSP 2019-02-2720:11:07 乒乓操作的寫入控制器 EE2BSP 2019-02-0220:43:48 一個狀態機的電路示例-乒乓操作的使能控制器 EE2BSP 2019-02-0220:43:48 DDR佈線注意事項 greatxiaoting 2018-12-1002:24:18 FPGA開發板中的FMC中信號定義 EE2BSP 2018-09-0116:43:29 數字電路設計和搭建系統的主要工作 EE2BSP 2018-09-0116:43:29 上下拉電阻的作用 EE2BSP 2018-09-0116:43:28 靜態工作點（直流偏置點） EE2BSP 2018-09-0116:43:28 電阻對於PN結的限流作用 EE2BSP 2018-09-0116:43:27 阻抗和導納 EE2BSP 2018-09-0116:43:26 G greatxiaoting 24小時熱門文章 最新文章 C語言中的“||\”符號 MDK470ALIC/ERRORR206:NOREGISTRYACCESS,ADMINISTRATIONRIGHTSREQUIRED centos7/mnt/hgfs不顯示共享文件夾 ubuntu安裝界面顯示不完整解決辦法 centos安裝vmwaretools 最新評論文章 Python調用outlook發送郵件 Gitcommitmessage的自我修養 性欲強的學生妹~小微158.46.D+.21 加賴sw096388 TDISensorMarketSegmentationandForecastAnalysisupto2031 PositionSensitiveDiodeMarketKeyFuturisticTopTrendsandCompetitiveLandscapeby2031 今天，你開心嗎 cisco-tftp 批量檢測支付寶是否開通